《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

8. 已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{c}| = 3$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c} = -2$，$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}+3\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，则$|\boldsymbol{b}|$等于（A）

A.$\frac{\sqrt{70}}{2}$
B.$\sqrt{70}$
C.$2\sqrt{70}$
D.3

答案： 8.A

9. （2025·江苏南京一中期中）已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是单位向量，满足$\boldsymbol{b}\perp(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为（B）

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{6}$

答案： 9.B

10. 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即在$□ ABCD$中，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}(|\overrightarrow{AD}|^{2}-|\overrightarrow{BC}|^{2})$，我们将这称为极化恒等式。如图，在$\triangle ABC$中，若$M$是$BC$中点，$AM = 3$，$BC = 10$，则$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$等于（D）


A.32
B.$-32$
C.16
D.$-16$

答案： 10.D

11. 已知正方形$ABCD$的面积为$2$，点$P$在边$AB$上，则$\overrightarrow{PD}·\overrightarrow{PC}$的最大值为（B）

A.$\frac{9}{2}$
B.2
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 11.B

12. （多选题）设$P$为$\triangle ABC$所在平面内一点，则下列说法正确的是（ABD）

A.若$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\boldsymbol{0}$，则点$P$是$\triangle ABC$的重心
B.若$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{PA}$，则点$P$是$\triangle ABC$的垂心
C.若$\overrightarrow{AP}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$，$\lambda\in[0,+\infty)$，则点$P$是$\triangle ABC$的内心
D.若$(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})·\overrightarrow{BA}=(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})·\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA})·\overrightarrow{AC}=0$，则点$P$是$\triangle ABC$的外心

答案： 12.ABD

13. （2025·山东济南一中月考）我们定义“$\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b}$”为向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$的“外积”，若向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，它的长度规定为$|\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta$，现已知$|\boldsymbol{a}| = 4$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b} = -2$，则$|\boldsymbol{a}×\boldsymbol{b}|=$$2\sqrt{35}$。

答案： $13.2\sqrt{35}$

14. （2025·山东淄博期中）已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为单位向量，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$。
（1）求$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|$的值；
（2）若向量$2\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b}$与$\lambda\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$的夹角为锐角，求实数$\lambda$的取值范围。

答案： 14. 解：
(1) 因为a,b为单位向量，所以$a^{2} = $|a|$^{2} = 1,b^{2} = $|b|$^{2} = 1.$又因为a与b的夹角为60°，所以a·b = |a||b|·
$cos60° = 1×1×\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$所以|a - 2b|$^{2} = a^{2} - 4a·b +$
$4b^{2} = 1 - 4×\frac{1}{2} + 4×1 = 1 - 2 + 4 = 3.$所以|a - 2b|$ = \sqrt{3}.$
(2) 因为向量$2a - \lambda b$与$\lambda a - b$的夹角为锐角，所以$(2a - \lambda b)·(\lambda a - b) ＞ 0，$且$2a - \lambda b$与$\lambda a - b$不同向共线.由
(1)
知，$a^{2} = 1,b^{2} = 1,a·b = \frac{1}{2}，$所以$(2a - \lambda b)·(\lambda a - b) =$
$2\lambda a^{2} - (2 + \lambda^{2})a·b + \lambda b^{2} = 2\lambda×1 - (2 + \lambda^{2})×\frac{1}{2} + \lambda×$
1 ＞ 0.所以$2\lambda - 1 - \frac{\lambda^{2}}{2} + \lambda ＞ 0，$即$-\frac{\lambda^{2}}{2} + 3\lambda - 1 ＞ 0，$即$\lambda^{2} -$
$6\lambda + 2 ＜ 0，$解得$3 - \sqrt{7} ＜ \lambda ＜ 3 + \sqrt{7}.$若两向量同向共线，则
存在实数k ＞ 0，使得$2a - \lambda b = k(\lambda a - b)，$即$2a - \lambda b = k\lambda a - kb.$所以$\begin{cases}2 = k\lambda,\\\lambda = k.\end{cases}$将$\lambda = k(k ＞ 0)$代入$2 = k\lambda，$得$\lambda^{2} =$
2，所以$\lambda = \sqrt{2}.$所以当两向量不同向共线时，$\lambda \neq \sqrt{2}.$综上所述，实数$\lambda$的取值范围是$(3 - \sqrt{7},\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2},3 + \sqrt{7}).$