《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

12. 小顾同学在用向量法研究求三角形的面积问题时，有如下研究成果：若 $ \overrightarrow{OA}=(x_{1},y_{1}) $，$ \overrightarrow{OB}=(x_{2},y_{2}) $，则 $ S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}| $.试用上述研究成果解决问题：已知 $ A(1,1) $，$ B(2,3) $，$ C(4,5) $，则 $ S_{\triangle ABC}= $1.

答案： 12. 1

13. 已知平面上三点的坐标分别为 $ A(-2,1) $，$ B(-1,3) $，$ C(3,4) $.若存在点 $ D $，使这四点能构成平行四边形，求点 $ D $ 的坐标.

答案： 13. 解：设点 D 的坐标为$(x,y)$.当四边形 ABCD 为平行四边形时,因为$\overrightarrow{AB}=(1,2),\overrightarrow{DC}=(3 - x,4 - y),\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$,所以$\begin{cases}1 = 3 - x,\\2 = 4 - y.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 2.\end{cases}$所以点 D 的坐标为$(2,2)$.
当四边形 ACDB 为平行四边形时,因为$\overrightarrow{AB}=(1,2),\overrightarrow{CD}=(x - 3,y - 4),\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$,所以$\begin{cases}x - 3 = 1,\\y - 4 = 2.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4,\\y = 6.\end{cases}$所以点 D 的坐标为$(4,6)$.当四边形 ACBD 为平行四边形时,因为$\overrightarrow{AC}=(5,3),\overrightarrow{DB}=(-1 - x,3 - y),\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$,所以$\begin{cases}-1 - x = 5,\\3 - y = 3.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -6,\\y = 0.\end{cases}$所以点 D 的坐标为$(-6,0)$.
综上所述,点 D 的坐标为$(2,2)$或$(4,6)$或$(-6,0)$.

14. 已知在非平行四边形 $ ABCD $ 中，$ AB// DC $，且 $ A $，$ B $，$ D $ 三点的坐标分别为 $ (0,0) $，$ (2,0) $，$ (1,1) $，则顶点 $ C $ 的横坐标的取值范围是$(1,3)\cup(3,+\infty)$.

答案： 14. $(1,3)\cup(3,+\infty)$

15. 已知对任意平面向量 $ \overrightarrow{AB}=(x,y) $，把 $ \overrightarrow{AB} $ 绕其起点按逆时针方向旋转 $ \theta $ 角得到向量 $ \overrightarrow{AP}=(x\cos \theta - y\sin \theta,x\sin \theta + y\cos \theta) $，叫做把点 $ B $ 绕点 $ A $ 按逆时针方向旋转 $ \theta $ 角得到点 $ P $.已知平面内点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (1,2) $，$ (1+\sqrt{2},2 - 2\sqrt{2}) $，把点 $ B $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转 $ \frac{\pi}{4} $ 后得到点 $ P $，求点 $ P $ 的坐标.

答案： 15. 解：因为点 A,B 的坐标分别为$(1,2),(1+\sqrt{2},2 - 2\sqrt{2})$,所以$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{2},-2\sqrt{2})$.由题意可知,把点 B 绕点 A 按逆时针方向旋转$\frac{7\pi}{4}$,得到点 P.所以$\overrightarrow{AP}=(\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4}+2\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{4},\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{4}-2\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{4})=(-1,-3)$.设$P(m,n)$,则$\overrightarrow{AP}=(m - 1,n - 2)$,所以$\begin{cases}m - 1 = -1,\\n - 2 = -3.\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 0,\\n = -1.\end{cases}$所以点 P 的坐标为$(0,-1)$.