《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. (2025·湖南省长沙市第一中学月考)已知平面向量 $ \boldsymbol{a}=(-\sqrt{3},-1) $，$ \boldsymbol{b}=(1,2) $，则 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) $ 等于（D）

A.1
B.$ \sqrt{3} $
C.$ -\sqrt{3} $
D.$ -1 $

答案： 1.D

2. (2025·北京八中月考)向量 $ \boldsymbol{a}=(2,0) $，$ \boldsymbol{b}=(1,2) $，则 $ |\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}| $ 等于（C）

A.4
B.8
C.$ 4\sqrt{2} $
D.16

答案： 2.C

3. (2025·内蒙古呼和浩特期中)已知向量 $ \boldsymbol{a}=(-2,-1) $，$ \boldsymbol{b}=(-1,-1) $，则 $ \cos \langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \rangle $ 的值为（D）

A.$ \frac{3\sqrt{5}}{5} $
B.$ -\frac{3\sqrt{5}}{5} $
C.$ -\frac{3\sqrt{10}}{10} $
D.$ \frac{3\sqrt{10}}{10} $

答案： 3.D

4. 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(-2,1) $，$ \boldsymbol{b}=(-1,3) $，则 $ \boldsymbol{b} $ 在 $ \boldsymbol{a} $ 上的投影向量为(-2,1).

答案： 4.(-2,1)

5. (2025·河北秦皇岛期中)已知向量 $ \boldsymbol{a}=(3,2) $，$ \boldsymbol{b}=(x,-1) $，$ \boldsymbol{c}=(-8,-1) $.
（1）求 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} $ 的值；
（2）若 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp (3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}) $，求实数 $ x $ 的值；
（3）若 $ \boldsymbol{a} // (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) $，求向量 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角 $ \theta $.

答案： 5. 解：
(1) 因为$\boldsymbol{a}=(3,2)$,$\boldsymbol{c}=(-8,-1)$,所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{c}=3 × (-8)+2 × (-1)=-26$。
(2) 易知$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}=(x + 3,1)$,
$3\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}=(1,5)$。因为$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \bot (3\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c})$,所以$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · (3\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c})=x + 3 + 5 = 0$,解得$x = -8$。所以实数$x$的值
为$-8$。
(3) 易知$\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}=(x - 8,-2)$。因为$\boldsymbol{a} // (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$,所
以$2(x - 8)=-6$,解得$x = 5$。所以$\boldsymbol{b}=(5,-1)$。所以$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}=3 × 5 + 2 × (-1)=13$,$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$,$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{5^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{26}$。所以$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{13}{\sqrt{13} × \sqrt{26}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。又$\theta \in [0,\pi]$,所以向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角$\theta$为$\frac{\pi}{4}$。

6. 与向量 $ \boldsymbol{a}=(4,2) $ 垂直的单位向量为（B）

A.$ \left( \frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5} \right) $
B.$ \left( -\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5} \right) $ 或 $ \left( \frac{\sqrt{5}}{5},-\frac{2\sqrt{5}}{5} \right) $
C.$ \left( -\frac{\sqrt{5}}{5},-\frac{2\sqrt{5}}{5} \right) $
D.$ \left( \frac{1}{10},-\frac{1}{5} \right) $ 或 $ \left( -\frac{1}{10},\frac{1}{5} \right) $

答案： 6.B

7. (2025·吉林长春市实验中学期中)设 $ x,y \in \mathbf{R} $，向量 $ \boldsymbol{a}=(x,1) $，$ \boldsymbol{b}=(1,y) $，$ \boldsymbol{c}=(2,-4) $，且 $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c} $，$ \boldsymbol{b} // \boldsymbol{c} $，则 $ x+y $ 等于（B）

A.$ -4 $
B.0
C.1
D.4

答案： 7.B

8. 已知点 $ A(-2,1) $，$ B(6,-3) $，$ C(0,5) $，则 $ \triangle ABC $ 是（A）

A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形

答案： 8.A

9. 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(3,4) $，$ \boldsymbol{b}=(1,0) $，$ \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b} $.若 $ \langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{c} \rangle = \langle \boldsymbol{b},\boldsymbol{c} \rangle $，则实数 $ t $ 的值为（C）

A.$ -6 $
B.$ -5 $
C.5
D.6

答案： 9.C

10. (多选题)在平面直角坐标系中，$ \overrightarrow{AB}=(2,1) $，$ \overrightarrow{AC}=(3,k) $.若 $ \triangle ABC $ 是直角三角形，则 $ k $ 的值可能是（BD）

A.1
B.$ -1 $
C.3
D.$ -6 $

答案： 10.BD

11. 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(3,-2) $，$ \boldsymbol{b}=(\lambda,1) $.若 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2} $，则 $ \lambda = $$\frac{2}{3}$.

答案： 11.$\frac{2}{3}$

12. 已知向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $，$ \boldsymbol{c} $，其中 $ \boldsymbol{a}=(1,0) $.命题 $ p $：若 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} $，则 $ \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} $.能说明 $ p $ 为假命题的一组 $ \boldsymbol{b} $ 和 $ \boldsymbol{c} $ 的坐标为 $ \boldsymbol{b}= $(0,1)，$ \boldsymbol{c}= $(0,2).

答案： 12. 答案不
唯一,如$(0,1)$ $(0,2)$