《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

11. (2025·天津月考)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$a = 3$，$b = 2$，$\cos(A + B) = \frac{1}{3}$，则$c =$$\sqrt{17}$，$\triangle ABC$的外接圆半径$r =$$\frac{3\sqrt{34}}{8}$.

答案： $11.\sqrt{17} \frac{3\sqrt{34}}{8}$

12. 已知$a$，$b$，$c$分别为$\triangle ABC$的三个内角$A$，$B$，$C$的对边，且$A = 60^{\circ}$，$a = \sqrt{3}$，$b = x$.若满足条件的三角形有两个，则$x$的取值范围是$(\sqrt{3},2)$.

答案： $12.(\sqrt{3},2)$

13. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$a\cos C + \frac{\sqrt{3}}{2}c = b$.
(1) 求$A$；
(2) 若$a = 1$，$b = \sqrt{3}$，求$c$的值.

答案： 13.解：
(1)因为$a\cos C+\frac{\sqrt{3}}{2}c=b，$所以由正弦定理，得$\sin A\cos C+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C=\sin B.$因为$\sin B=\sin(A + C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C，$所以$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C=\cos A\sin C.$因为$\sin C\neq0，$所以$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}.$因为0＜A＜\pi，所以$A=\frac{\pi}{6}.$
(2)在$\triangle ABC$中，由正弦定理，得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}，$所以$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$因为0＜B＜\pi，所以$B=\frac{\pi}{3}$或$B=\frac{2\pi}{3}.$当$B=\frac{\pi}{3}$时，$C=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}，$所以$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2.$当$B=\frac{2\pi}{3}$时，$C=\pi-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}，$所以c=a=1.综上所述，c的值为1或2.

14. (多选题)在锐角三角形$ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$.若$a - b = 2b\cos C$，则下列结论正确的是 （ABD）

A.$C = 2B$
B.$B$的取值范围是$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})$
C.$B = 2C$
D.$\frac{c}{b}$的取值范围是$(\sqrt{2},\sqrt{3})$

答案： 14.ABD

15. (2025·江苏连云港模拟)在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AC$上，$\angle ABD = \frac{\pi}{2}$，$\angle CBD = \frac{\pi}{6}$，$AB = 1$.
(1) 若$BC = 2$，求$AD$的长；
(2) 若$AD = 2CD$，求$AD$的长.

答案： 15.解：由题意，得$\angle ABC=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}.(1)$在$\triangle ABC$中，由余弦定理，得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB· BC·\cos\angle ABC=1^{2}+2^{2}-2×1×2\cos\frac{2\pi}{3}=7，$所以$AC=\sqrt{7}.$所以$\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB· AC}=\frac{1 + 7 - 4}{2×1×\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}.$所以在$Rt\triangle ABD$中，$AD=\frac{AB}{\cos A}=\frac{1}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}=\frac{7}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.$
(2)设CD=t(t＞0)，则AD=2t.在$\triangle BCD$中，由正弦定理，得$\frac{CD}{\sin\angle CBD}=\frac{BC}{\sin\angle CDB}$又因为$\sin\angle CDB=\sin\angle ADB=\frac{AB}{AD}=\frac{1}{2t}=\frac{t}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{BC}{\frac{1}{2t}}，$得BC=1.所以在$\triangle ABC$中，由余弦定理，得$AC=\sqrt{1 + 1-2\cos\frac{2\pi}{3}}=\sqrt{3}.$所以易得$AD=\frac{2}{3}AC=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$