《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. 在$\triangle ABC$中，若$|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$，则$\triangle ABC$为（D）

A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形

答案： 1. D

2. 在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$AC = 3$，$\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$CN$与$BM$交于点$P$，则$\cos\angle BPN$的值为（D）

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： 2. D

3. （多选题）（2025·广东东莞中学期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包. 假设行李包所受重力为$\boldsymbol{G}$，作用在行李包上的两个拉力分别为$\boldsymbol{F}_{1}$，$\boldsymbol{F}_{2}$，且$|\boldsymbol{F}_{1}| = |\boldsymbol{F}_{2}|$，$\boldsymbol{F}_{1}$与$\boldsymbol{F}_{2}$的夹角为$\theta$，则下列结论中，正确的是（AC）

A.$|\boldsymbol{F}_{1}| = \frac{|\boldsymbol{G}|}{2\cos\frac{\theta}{2}}$
B.$\theta$越小越费力，$\theta$越大越省力
C.当$\theta = \frac{2\pi}{3}$时，$|\boldsymbol{F}_{1}| = |\boldsymbol{G}|$
D.$\theta$的取值范围是$[0,\pi]$

答案： 3. AC

4. （2025·河北沧州一中月考）一艘船以$4\ km/h$的速度沿着与水流方向成$120^{\circ}$的方向航行. 已知水流速度为$2\ km/h$，则经过$2\ h$，船的实际航程为$4\sqrt{3}$$ km$.

答案： 4. $4\sqrt{3}$

5. （2024·山东德州一中月考）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 2$，$AC = 4$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$E$，$F$分别为$AC$，$BC$上的点，且$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
（1）求$|\overrightarrow{AF}|$的值；
（2）求证：$AF\perp BE$；
（3）若线段$BE$上一动点$P$满足$2\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = \boldsymbol{0}$，试确定点$P$的位置.

答案： 5. 解：设$\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AC} = b$。
(1) 因为$AB = 2$，$AC = 4$，$\angle BAC = 60°$，所以$|a| = 2$，$|b| = 4$，$a · b = 2 × 4 \cos 60° = 4$。因为$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}a + \frac{1}{3}b$。所以$|\overrightarrow{AF}|^2 = (\frac{2}{3}a + \frac{1}{3}b)^2 = \frac{4}{9}a^2 + \frac{4}{9}a · b + \frac{1}{9}b^2 = \frac{4}{9} × 4 + \frac{4}{9} × 4 + \frac{1}{9} × 16 = \frac{16}{3}$，即$|\overrightarrow{AF}| = \frac{4\sqrt{3}}{3}$。
(2) 证明：因为$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = -a + \frac{1}{2}b$。所以$\overrightarrow{AF} · \overrightarrow{BE} = (\frac{2}{3}a + \frac{1}{3}b)(-a + \frac{1}{2}b) = -\frac{2}{3}a^2 + \frac{1}{6}b^2 = -\frac{2}{3} × 4 + \frac{1}{6} × 16 = 0$。所以$\overrightarrow{AF} \perp \overrightarrow{BE}$，即$AF \perp BE$。
(3) 因为$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，所以$E$是$AC$的中点。所以$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PE}$。因为$2\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = 0$，所以$2\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PE} = 0$，即$\overrightarrow{PB} = -\overrightarrow{PE}$。所以$P$是线段$BE$的中点。

6. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度$d = 1\ km$. 一艘游船从南岸码头点$A$处出发航行到北岸. 已知游船在静水中的航行速度$\boldsymbol{v}_{1}$的大小为$|\boldsymbol{v}_{1}| = 20\ km/h$，水流速度$\boldsymbol{v}_{2}$的大小为$|\boldsymbol{v}_{2}| = 5\ km/h$. 设$\boldsymbol{v}_{1}$和$\boldsymbol{v}_{2}$的夹角为$\theta$（$0^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ}$），则当游船的航行距离最短时，下列结论正确的是（C）


A.$\cos\theta = \frac{1}{4}$
B.$\cos\theta = \frac{1}{5}$
C.$\cos\theta = -\frac{1}{4}$
D.$\cos\theta = -\frac{1}{5}$

答案： 6. C