《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. （2025·陕西渭南期中）设$\boldsymbol{e}$是单位向量，$\overrightarrow{AB}=3\boldsymbol{e}$，$\overrightarrow{CD}=-3\boldsymbol{e}$，$|\overrightarrow{AD}|=3$，则四边形$ABCD$一定是（B）

A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形

答案： 1.B

2. （2025·江西赣州期中）已知$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$为不共线向量，$\boldsymbol{a}=k\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2}$，$\boldsymbol{b}=-\frac{2}{k}\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$。若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为共线向量，则$k$等于（D）

A.2
B.4
C.$\pm1$
D.$\pm2$

答案： 2.D

3. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$为$AB$的中点，则$\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{EC}$等于（D）

A.$\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}$
B.$\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
C.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}$
D.$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}$

答案： 3.D

4. 已知$O$是$\triangle ABC$内一点，且满足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$。将$\triangle AOC$的面积记为$S_{1}$，$\triangle BOC$的面积记为$S_{2}$，则$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值为（A）

A.2
B.3
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 4.A

5. （多选题）设$M$是$\triangle ABC$所在平面内一点，则下列说法正确的是（ACD）

A.若$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，则$M$是$BC$的中点
B.若$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，则点$M$在边$BC$的延长线上
C.若$\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{CM}$，则点$M$是$\triangle ABC$的重心
D.若$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

答案： 5.ACD

6. 在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别为边$AB$，$CD$的中点，$AB// CD$，记$AC$，$BD$相交于点$M$。
（1）求证：$\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})$；
（2）若$AB = CD$，写出$2$个与$\overrightarrow{ME}$共线的向量（不用证明）；
（3）若$AB\neq CD$，求证：$E$，$M$，$F$三点共线。

答案： 6. 解：
(1) 证明：因为E为AB的中点，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}.$所以$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BE}.$所以$2\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}.$所以$\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).$
(2) 答案不唯一，如向量$\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}. (3) $证明：设$AB = kCD(k \neq 0).$因为AB// CD，所以$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MC},\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{MD}.$
由
(1)知，$\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).$同理，可得$\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})，$其中$\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})=-\frac{k}{2}(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})，$
所以$\overrightarrow{ME}=-k\overrightarrow{MF}.$又$\overrightarrow{ME},\overrightarrow{MF}$有公共点M，所以E，M，F三点共线.

7. （2025·内蒙古巴彦淖尔期中）已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个单位向量，$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$等于（B）

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 7.B