《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

4. 已知矩形$ABCD$的对角线长为$1$，将$\triangle ABD$折起得到三棱锥$A-BCD$，且三棱锥$A-BCD$的各个顶点均在球$O$的表面上，则球$O$的表面积为（B）

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\pi$
C.$4\pi$
D.$8\pi$

答案： 4.B

5. 在$□ ABCD$中，$\angle A=60^{\circ}$，$AB=1$，$AD=2$，将$\triangle ABD$沿$BD$折起，使得平面$ABD\perp$平面$BCD$，则点$B$到平面$ACD$的距离为（D）

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 5.D

6.（多选题）如图，菱形$ABCD$的边长为$2$，$\angle ADC=60^{\circ}$，将$\triangle ACD$沿$AC$翻折得到三棱锥$P-ABC$，点$P$为翻折过程中点$D$的某一位置，则下列结论正确的是（AC）

A.无论点$P$在何位置，总有$AC\perp PD$
B.点$P$存在两个位置，使得$V_{三棱锥P-ABC}=1$成立
C.当平面$PAC\perp$平面$BAC$时，异面直线$PA$与$BC$所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$
D.当$PB=2$时，$M$为$PB$上一点，则$AM+CM$的最小值为$2\sqrt{2}$

答案： 6.AC

7. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$AD=2$，$G$为$BC$的中点，点$E$，$F$分别在线段$AB$，$CD$上运动，且$EF// AD$，沿$EF$将$\triangle GEF$折起，得到三棱锥$G-EFD$，当三棱锥$G-EFD$的体积最大时，直线$DG$与平面$DEF$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{190}}{19}$.

答案： 7.$\frac{\sqrt{190}}{19}$

8. 如图①，四边形$ABCD$是正方形，$E$是$AB$的中点，若将$\triangle DAE$和$\triangle CBE$分别沿虚线$DE$和$CE$折起，使$AE$与$BE$重合，记$A$与$B$重合的点为$P$（如图②），则平面$PCD$与平面$ECD$所成的二面角为$\frac{π}{6}$.

答案： 8.$\frac{π}{6}$

9. 如图①所示为由矩形$ADEB$，$Rt\triangle ABC$和菱形$BFGC$组成的一个平面图形，其中$AB=1$，$BE=BF=2$，$\angle FBC=60^{\circ}$.如图②，将其沿$AB$，$BC$折起，使得$BE$与$BF$重合，连接$DG$.
（1）求证：图②中的$A$，$C$，$G$，$D$四点共面，且平面$ABC\perp$平面$BCGE$；
（2）求图②中的四边形$ACGD$的面积.

答案：
9.解:
(1)证明：由题意，得AD//BE，CG//BE，所以AD//CG.所以AD，CG确定一个平面.所以A，C，G，D四点共面.由题意，得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC = B，BE⊂平面BCGE，BC⊂平面BCGE，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB//DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE.因为EM⊂平面BCGE，CG⊂平面BCGE，所以DE⊥EM，DE⊥CG.因为四边形BCGE是菱形，且∠EBC = 60°，所以易得EM⊥CG.又因为DE∩EM = E，DE⊂平面DEM，EM⊂平面DEM，所以CG⊥平面DEM.因为DM⊂平面DEM，所以CG⊥DM.在Rt△DEM中，DE = 1，EM = 2sin60° = $\sqrt{3}$，所以DM = $\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}$ = 2.易证四边形ACGD为平行四边形，所以四边形ACGD的面积为2×2 = 4.