《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. (2025·湖南株洲市第一中学月考)在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，连接$AC$，$BD_{1}$，则直线$AC$，$BD_{1}$的位置关系是（A）

A.异面且垂直
B.异面但不垂直
C.相交且垂直
D.平行

答案： 1.A

2. 已知$l$，$m$，$n$表示不同的直线，$\alpha$，$\beta$，$\gamma$表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（C）

A.若$l//\alpha$，且$m//\alpha$，则$l\perp m$
B.若$\alpha\perp\beta$，$m//\alpha$，$n\perp\beta$，则$m// n$
C.若$m// l$，且$m\perp\alpha$，则$l\perp\alpha$
D.若$m\perp n$，$m\perp\alpha$，$n//\beta$，则$\alpha\perp\beta$

答案： 2.C

3. 如图，在圆柱$OO'$中，$AA'$是侧面的母线，$AB$是底面圆的直径，$C$是底面圆上一点，则（A）

A.$BC\perp$平面$A'AC$
B.$BC\perp$平面$A'AB$
C.$AC\perp$平面$A'BC$
D.$AC\perp$平面$A'AB$

答案： 3.A

4. (多选题)如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，顶点$A$在平面$\alpha$内，其余顶点在平面$\alpha$的同侧，$AC$，$BD$的交点为$O$，顶点$A_{1}$，$B$，$C$到平面$\alpha$的距离分别为$\sqrt{6}$，$1$，$2$，则下列结论正确的是（BCD）

A.$BC//$平面$\alpha$
B.点$O$到平面$\alpha$的距离为$1$
C.平面$A_{1}AC\perp$平面$\alpha$
D.正方体的棱长为$2\sqrt{2}$

答案： 4.BCD

5. 如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M$，$N$分别是$A_{1}D$，$D_{1}B$的中点，则下列结论正确的是（A）


A.直线$A_{1}D$与直线$D_{1}B$垂直，直线$MN//$平面$ABCD$
B.直线$A_{1}D$与直线$D_{1}B$平行，直线$MN\perp$平面$BDD_{1}B_{1}$
C.直线$A_{1}D$与直线$D_{1}B$相交，直线$MN//$平面$ABCD$
D.直线$A_{1}D$与直线$D_{1}B$异面，直线$MN\perp$平面$BDD_{1}B_{1}$

答案： 5.A

6. (2025·广东东莞期中)如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PD\perp$平面$ABCD$，$AB// DC$，$AD\perp DC$，$DA = AB = PD = 2$，$DC = 4$，$E$，$F$分别为棱$CD$，$PD$的中点.
(1) 求证：$PB//$平面$AEF$；
(2) 求证：$AE\perp$平面$PBD$；
(3) 求点$D$到平面$PBC$的距离.
]

答案：
6.解:
(1)证明:如图，连接BE，设BD∩AE=O，连接OF.因为E为CD的中点，所以DE=$\frac{1}{2}$DC=2=AB.又因为AB//DC，所以四边形ABED是平行四边形.所以OD=OB.又F是PD的中点，所以OF//PB.因为OF⊂平面AEF，PB⊄平面AEF，所以PB//平面AEF.
(2)证明:由
(1)可知，四边形ABED是平行四边形.因为DA=AB=2，所以四边形ABED为菱形.所以AE⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PD⊥AE.又BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD，所以AE⊥平面PBD.
(3)在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{2^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{2}$.因为PD⊥平面ABCD，BD，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，PD⊥CD.在Rt△PDB中，PD=2，BD=2$\sqrt{2}$，则PB=$\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}$=2$\sqrt{3}$.易知BC=2$\sqrt{2}$，PC=2$\sqrt{5}$，所以PB²+BC²=PC²，则PB⊥BC.故S_{△PBC}=$\frac{1}{2}$PB·BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{6}$，而V_{三棱锥P - BCD}=$\frac{1}{3}$S_{△BCD}·PD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×2×2=$\frac{8}{3}$.设点D到平面PBC的距离为d.由等体积法，得V_{三棱锥D - PBC}=$\frac{1}{3}$S_{△PBC}·d=V_{三棱锥P - BCD}，即$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{6}$d=$\frac{8}{3}$，所以d=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，即点D到平面PBC的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.