《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

11. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，$A = 60^{\circ}$，$a = \sqrt{7}$，$b = 2$，则边$AC$上的高为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

答案： $11.\frac{3\sqrt{3}}{2}$

12. (2025·江苏无锡期中)我国著名数学家秦九韶，发现了利用三角形三边求面积的公式，这种方法被称为“三斜求积”. 如果把这个方法写成公式，就是$S = \sqrt{\frac{1}{4}[c^{2}a^{2} - (\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})^{2}]}$，其中$a$，$b$，$c$是三角形的三边，$S$是三角形的面积. 设某三角形的三边$a = \sqrt{3}$，$b = 2$，$c = \sqrt{5}$，则该三角形的面积$S =$$\frac{\sqrt{11}}{2}$.

答案： $12.\frac{\sqrt{11}}{2}$

13. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$c = 2$，$b = 1$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = 90^{\circ}$，求$\triangle ACD$的面积.

答案： 13. 解：因为在△ABC中，$∠BAC=120^{\circ}，$D为边BC上一点，且$∠BAD=90^{\circ}，$所以$∠CAD=∠BAC-∠BAD=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}.$又$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CAD}，$所以$\frac{1}{2}bc\sin∠BAC=\frac{1}{2}c· AD·\sin∠BAD+\frac{1}{2}b· AD·\sin∠DAC.$所以$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}×2× AD×1+\frac{1}{2}×1× AD×\frac{1}{2}.$所以$AD=\frac{2\sqrt{3}}{5}.$所以$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×1×\frac{2\sqrt{3}}{5}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{10}.$

14. 在$\triangle ABC$中，$AC = 2$，$AB = 3$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，则$AD =$$\frac{6\sqrt{3}}{5}$.

答案： $14.\frac{6\sqrt{3}}{5}$

15. (2024·浙江台州中学期中)在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$a\sin\frac{A + C}{2} = b\sin A$.
(1) 求$B$；
(2) 若$\triangle ABC$为锐角三角形，且$c = 4$，求$\triangle ABC$面积的取值范围.

答案： 15. 解：
(1) 因为$a\sin\frac{A+C}{2}=b\sin A，$所以由正弦定理，得$\sin A\sin\frac{A+C}{2}=\sin B\sin A.$因为$\sin A\neq0，$所以$\sin\frac{A+C}{2}=\sin B.$方法一：因为0＜B＜\pi，所以$\frac{A+C}{2}=B$或$\frac{A+C}{2}=\pi-B.$当$\frac{A+C}{2}=B$时，A+C=2B，又$A+B+C=\pi，$所以$B=\frac{\pi}{3}；$当$\frac{A+C}{2}=\pi-B$时，$A+C=2\pi-2B，$即$\pi-B=2\pi-2B，$所以$B=\pi($舍去).综上所述，$B=\frac{\pi}{3}$
方法二：因为$\sin\frac{A+C}{2}=\sin\frac{\pi-B}{2}=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2})=\cos\frac{B}{2}，$$\sin B=2\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}，$所以$\cos\frac{B}{2}=2\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}.$
易知$\cos\frac{B}{2}\neq0，$所以$\sin\frac{B}{2}=\frac{1}{2}.$因为0＜B＜\pi，所以0＜\frac{B}{2}＜\frac{\pi}{2}，所以$\frac{B}{2}=\frac{\pi}{6}.$所以$B=\frac{\pi}{3}.$
(2) 由
(1)知，$B=\frac{\pi}{3}，$又c=4，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\sqrt{3}a.$由正弦定理，得$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}，$则$a=\frac{c\sin A}{\sin C}=4·\frac{\sin(\frac{\pi}{3}+C)}{\sin C}=\frac{2\sqrt{3}\cos C+2\sin C}{\sin C}=\frac{2\sqrt{3}}{\tan C}+2.$因为△ABC为锐角三角形，$A=\pi-B-C=\frac{2\pi}{3}-C，$所以$\begin{cases}0＜\frac{2\pi}{3}-C＜\frac{\pi}{2}\\0＜C＜\frac{\pi}{2}\end{cases}$所以$\frac{\pi}{6}＜C＜\frac{\pi}{2}.$所以$\tan C\in(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty).$所以$\frac{1}{\tan C}\in(0,\sqrt{3}).$所以$\frac{2\sqrt{3}}{\tan C}\in(0,6).$所以$a\in(2,8).$所以$\sqrt{3}a\in(2\sqrt{3},8\sqrt{3})，$即△ABC面积的取值范围是$(2\sqrt{3},8\sqrt{3}).$