《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

9. （多选题）（2025·安徽中科大附中月考）如图，在正三棱台$ ABC - A_1B_1C_1 $中，$ D $，$ E $，$ D_1 $，$ E_1 $分别是$ AB $，$ BC $，$ A_1B_1 $，$ B_1C_1 $的中点，且$ AC = 2A_1C_1 $，则下列说法正确的有（ABD）


A.$ AC \perp BB_1 $
B.$ AC // $平面$ D_1E_1ED $
C.$ AB \perp $平面$ D_1E_1ED $
D.若$ D_1E_1 = DD_1 $，则$ BB_1 \perp $平面$ ACC_1A_1 $

答案： 9. ABD

10. 已知$ \angle ACB = \frac{\pi}{2} $，$ P $为平面$ ABC $外一点，$ PC = 2 $，点$ P $到$ \angle ACB $的两边$ AC $，$ BC $的距离均为$ \sqrt{3} $，则点$ P $到平面$ ABC $的距离为$\sqrt{2}$，直线$ PC $与平面$ ABC $所成的角为$\frac{\pi}{4}$.

答案： 10. $\sqrt{2}$ $\frac{\pi}{4}$

11. （2024·黑龙江哈三中期中）如图，在正四面体$ S - ABC $中，$ SE \perp $平面$ ABC $，$ D $为$ AB $的中点，点$ E $在$ CD $上.
（1）求$ SA $与平面$ ABC $所成角的正弦值；
（2）求证：$ AB \perp SC $.

答案：
11. 解：
(1) 设正四面体的棱长为a.如图，连接AE.因为SE⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以SE⊥AE，且E为等边三角形ABC的中心.所以∠SAE为SA与平面ABC所成的角.因为易知CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AE=CE=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，所以在Rt△SAE中，SE=$\sqrt{SA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{a^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$.所以sin∠SAE=$\frac{SE}{SA}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
(2) 证明：如图，连接SD.因为SE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以SE⊥AB.易知CD⊥AB，且SE∩CD=E，SE⊂平面SDC，CD⊂平面SDC，所以AB⊥平面SDC.又SC⊂平面SDC，所以AB⊥SC.

12. （2024·广东湛江期末）如图，$ PA \perp $平面$ ABCD $，底面$ ABCD $为矩形，$ AE \perp PB $于点$ E $，$ AF \perp PC $于点$ F $.
（1）求证：$ AE \perp $平面$ PBC $；
（2）设平面$ AEF $交$ PD $于点$ G $，求证：$ AG \perp PD $.

答案： 12. 证明：
(1) 因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥AB.因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PA.又因为PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.
(2) 由
(1)知，AE⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又AF⊥PC，AE∩AF=A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，所以PC⊥平面AEF.因为AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG.因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA.因为AD∩PA=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG.因为PC∩CD=C，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AG⊥平面PCD.因为PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.

13. 如图，在直三棱柱$ ABC - A_1B_1C_1 $中，$ BC = CC_1 $，当底面$ A_1B_1C_1 $满足条件答案不唯一，如∠A₁C₁B₁ = 90°时，$ AB_1 \perp BC_1 $（填一种即可）.

答案： 13. 答案不唯一，如∠A₁C₁B₁ = 90°