《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

8. (2025·福建三明期中)已知正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的所有棱长都为4，$E$为$AB$的中点，用过点$E$及直线$A_1C_1$的平面去截这个正三棱柱，则截面的面积是 (D)

A.$2\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{19}$
D.$3\sqrt{19}$

答案： 8. D

9. (多选题)如图，$P$为矩形$ABCD$所在平面外一点，矩形对角线的交点为$O$，$M$为$PB$的中点，则下列结论正确的是 (AC)


A.$OM // PD$
B.$OM //$平面$PAC$
C.$OM //$平面$PDA$
D.$OM //$平面$PBA$

答案： 9. AC

10. 如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$AD // BC$，$AD = \frac{1}{2}BC$，$E$为$PC$上一点，$F$为$PB$的中点，且$AF //$平面$BDE$.
(1) 若平面$PAD$与平面$PBC$的交线为$l$，求证：$l //$平面$ABCD$；
(2) 求证：$AF // DE$.

答案：
10. 证明：
(1) 因为BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC//平面PAD. 因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，所以BC//l. 因为BC⊂平面ABCD，l⊄平面ABCD，所以l//平面ABCD.
(2) 如图，连接AC，FC，设AC∩BD=O，FC∩BE=M，连接OM. 因为AF//平面BDE，AF⊂平面AFC，平面AFC∩平面BDE=OM，所以AF//OM. 所以$\frac{FM}{MC}$=$\frac{AO}{OC}$. 因为AD//BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，所以$\frac{AO}{OC}$=$\frac{DO}{OB}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{2}$. 所以$\frac{FM}{MC}$=$\frac{1}{2}$. 又因为F为PB的中点，所以易知点M是△PBC的重心. 所以E是PC的中点，$\frac{EM}{MB}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{DO}{OB}$. 所以易得OM//DE. 所以AF//DE.
　　　　　　

11. ▏探究开放题 如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$D$为$AA_1$的中点，点$P$在侧面$BCC_1B_1$上运动，当点$P$满足条件答案不唯一，如P为CC₁的中点时，$A_1P //$平面$BCD$(填一个满足题意的条件即可).

答案： 11. 答案不唯一，如P为CC₁的中点

12. ▏核心素养 逻辑推理 如图，在斜三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$D_1$为$A_1C_1$上的点. 当$\frac{A_1D_1}{D_1C_1}$为何值时，$BC_1 //$平面$AB_1D_1$？请说明理由.

答案：
12. 解：当$\frac{A_1D_1}{D_1C_1}$=1时，BC₁//平面AB₁D₁. 理由：如图，连接A₁B交AB₁于点O，连接OD₁. 由斜三棱柱ABC - A₁B₁C₁可知，四边形A₁ABB₁为平行四边形，所以O为A₁B的中点. 因为$\frac{A_1D_1}{D_1C_1}$=1，即D₁为A₁C₁的中点，所以OD₁//BC₁. 又因为OD₁⊂平面AB₁D₁，BC₁⊄平面AB₁D₁，所以BC₁//平面AB₁D₁. 所以当$\frac{A_1D_1}{D_1C_1}$=1时，BC₁//平面AB₁D₁.