《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. (2025·福建宁德期中)设向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 满足 $ 5(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) - 4(\boldsymbol{b} + 3\boldsymbol{a}) - \boldsymbol{c} = \boldsymbol{0} $，则 $ \boldsymbol{c} $ 等于（D）

A.$ -\boldsymbol{a} + 22\boldsymbol{b} $
B.$ 7\boldsymbol{a} + 14\boldsymbol{b} $
C.$ \boldsymbol{a} - 22\boldsymbol{b} $
D.$ -7\boldsymbol{a} - 14\boldsymbol{b} $

答案： 1. D

2. 教材改编 P14例6 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ \overrightarrow{AC} = \boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{DO} = \boldsymbol{b} $，则 $ \overrightarrow{CB} $ 等于（B）


A.$ \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $
B.$ -\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $
C.$ -\frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $
D.$ \frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $

答案： 2. B

3. 教材改编 P15T3 (多选题)已知向量 $ \boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{e} $，$ \boldsymbol{b} = -6\boldsymbol{e} $，则下列结论正确的是（ABD）

A.$ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $
B.向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} $ 方向相反
C.$ |\boldsymbol{a}| = 3|\boldsymbol{b}| $
D.$ \boldsymbol{b} = -3\boldsymbol{a} $

答案： 3. ABD

4. (2025·湖北武汉六中期中)已知 $ \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 $ 是两个不共线的向量，$ \boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2 $，$ \boldsymbol{b} = k\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 $。若 $ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $，则 $ k = $-2。

答案： 4. -2

5. 已知 $ O,A,B $ 是不共线的三点，且 $ \overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}(m,n \in \mathbf{R}) $。
(1) 若 $ m + n = 1 $，求证：$ A,P,B $ 三点共线；
(2) 若 $ A,P,B $ 三点共线，求证：$ m + n = 1 $。

答案： 5. 证明：
(1) 若 m+n=1，则$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+(1 - m)\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}+m(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})$，所以$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=m(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})$，即$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{BA}$。所以$\overrightarrow{BP}$与$\overrightarrow{BA}$共线。又因为$\overrightarrow{BP}$与$\overrightarrow{BA}$有公共点 B，所以 A，P，B 三点共线。
(2) 若 A，P，B 三点共线，则存在实数λ，使$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BA}$，所以$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=\lambda(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})$。因为$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，所以$m\overrightarrow{OA}+(n - 1)\overrightarrow{OB}=\lambda\overrightarrow{OA}-\lambda\overrightarrow{OB}$，即$(m - \lambda)\overrightarrow{OA}+(n + \lambda - 1)\overrightarrow{OB}=0$。因为 O，A，B 三点不共线，所以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共线。所以$\begin{cases}m - \lambda = 0\\n + \lambda - 1 = 0\end{cases}$，所以$m + n = \lambda + 1 - \lambda = 1$。

6. (多选题)如图，$ C,D $ 是线段 $ AB $ 上的两个三等分点，则下列关系式正确的有（ABC）


A.$ \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} $
B.$ \overrightarrow{DA} = -2\overrightarrow{CD} $
C.$ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \boldsymbol{0} $
D.$ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $

答案： 6. ABC

7. 在四边形 $ ABCD $ 中，若有 $ \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{DC} $，且 $ |\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{BC}| $，则这个四边形是（C）

A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形

答案： 7. C

8. 若向量 $ \boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 $，$ \boldsymbol{b} = -2\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2 $，则下列向量中与向量 $ 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $ 共线的是（B）

A.$ -5\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2 $
B.$ 4\boldsymbol{e}_1 + 10\boldsymbol{e}_2 $
C.$ 10\boldsymbol{e}_1 + 4\boldsymbol{e}_2 $
D.$ \boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2 $

答案： 8. B

9. (2025·天津期中)在 $ □ ABCD $ 中，$ E $ 是 $ DC $ 的中点，$ F $ 是 $ BC $ 的一个三等分点(靠近点 $ B $)，则 $ \overrightarrow{EF} $ 等于（D）

A.$ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} $
B.$ \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} $
C.$ \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} $
D.$ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} $

答案： 9. D

10. (多选题)若 $ D,E,F $ 分别为 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC,CA,AB $ 的中点，且 $ \overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b} $，则下列结论正确的是（ABC）

A.$ \overrightarrow{AD} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $
B.$ \overrightarrow{BE} = \boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} $
C.$ \overrightarrow{CF} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} $
D.$ \overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} $

答案： 10. ABC

11. (2025·浙江杭州中学月考)设 $ \overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b} $，$ \overrightarrow{BC} = -\frac{1}{4}\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b} $。已知 $ A,B,C $ 三点共线，则 $ \lambda = $$-\frac{3}{8}$。

答案： 11. $-\frac{3}{8}$