《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

15. 核心素养 数学建模 如图所示为某斜拉桥的平面示意图,已知主塔 $AB$ 垂直于桥面,斜拉索 $AD,AC$ 与桥面所成角 $\angle ADB=\beta,\angle ACB=\alpha$,主塔 $AB$ 的高度为 $h$,则点 $C,D$ 间的距离为（A）


A.$\frac{h\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\sin\beta}$
B.$\frac{h\sin\alpha\sin(\alpha - \beta)}{\sin\beta}$
C.$\frac{h\sin\beta\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha}$
D.$\frac{h\sin\alpha}{\sin\beta\sin(\alpha - \beta)}$
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答案： 15.A

16. 核心素养 逻辑推理 已知点 $O,N,P$ 在 $\triangle ABC$ 所在平面内,满足 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|,\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\boldsymbol{0},\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}·\overrightarrow{PA}$,则点 $O,N,P$ 依次为 $\triangle ABC$ 的（D）

A.重心、外心、垂心
B.外心、垂心、重心
C.重心、垂心、外心
D.外心、重心、垂心

答案： 16.D

17. 核心素养 数学运算 (2025 · 天津卷)在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为边 $AB$ 的中点,$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD},\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$,则 $\overrightarrow{AE}=$$\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$(用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示);若 $|\overrightarrow{AE}| = 5,AE\perp CB$,则 $\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CD}=$-15.

答案： 17.$\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-15$

18. 核心素养 逻辑推理 如图,正方形 $ABCD$ 的顶点 $A,B$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴正半轴上滑动,$M$ 是边 $CD$ 的中点.
(1) 求证:$\overrightarrow{OC}·\overrightarrow{OD}=|\overrightarrow{OM}|^2 - |\overrightarrow{MD}|^2$;
(2) 若正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$,求 $\overrightarrow{OC}·\overrightarrow{OD}$ 的最大值.

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答案：
18. 解：
(1)证明：因为$M$是边$CD$的中点,所以$\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MD}$.因为$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}$,所以$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{MD}$.又$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MD}$,所以$\overrightarrow{OC}·\overrightarrow{OD}=(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{MD})·(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MD})=|\overrightarrow{OM}|^2-|\overrightarrow{MD}|^2$.
(2)如图,取$AB$的中点$N$,连接$MN$,$ON$.由题意可知,点$O$在以$AB$为直径的圆上,所以$|\overrightarrow{OM}|\leq|\overrightarrow{ON}|+|\overrightarrow{MN}|=\frac{1}{2}|AB|+|AD|=3$,当且仅当$O$,$N$,$M$三点共线时取等号.所以$\overrightarrow{OC}·\overrightarrow{OD}=|\overrightarrow{OM}|^2-|\overrightarrow{MD}|^2\leq9 - 1 = 8$.所以$\overrightarrow{OC}·\overrightarrow{OD}$的最大值为$8$.