《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. (2025 · 江苏苏州中学期中)在 $□ ABCD$ 中,$\overrightarrow{BC}$ 等于（A）

A.$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$
B.$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{AB}$
C.$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}$
D.$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$

答案： 1.A

2. (2024 · 广东揭阳一中月考)已知 $\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\}$ 是平面内所有向量的一个基底,$\overrightarrow{OA}=4\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2,\overrightarrow{OB}=2\boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2,\overrightarrow{OC}=5\boldsymbol{e}_1 - 3\boldsymbol{e}_2$.若 $A,B,C$ 三点共线,则实数 $k$ 的值为（C）

A.$9$
B.$13$
C.$15$
D.$18$

答案： 2.C

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ED}$.若 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$,则 $\overrightarrow{BE}$ 等于（B）


A.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}$
B.$-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}$
C.$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}$
D.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}$

答案： 3.B

4. 核心素养 逻辑推理 已知 $O$ 是平面上的一个定点,$A,B,C$ 是平面上不共线的三个动点.
(1) 若动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\lambda\in(0,+\infty)$,则点 $P$ 的轨迹一定经过 $\triangle ABC$ 的重心;
(2) 若动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda·\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right),\lambda\in(0,+\infty)$,则点 $P$ 的轨迹一定经过 $\triangle ABC$ 的内心.

答案： 4.
(1)重心
(2)内心

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{QC},\overrightarrow{AR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$,$BQ$ 与 $CR$ 相交于点 $I$,$AI$ 的延长线与边 $BC$ 交于点 $P$.
(1) 用 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 分别表示 $\overrightarrow{BQ}$ 和 $\overrightarrow{CR}$;
(2) 如果 $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{CR}$,求实数 $\lambda$ 和 $\mu$ 的值.

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答案： 5. 解：
(1)因为$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{QC}$,所以$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.所以$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AQ}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.因为$\overrightarrow{AR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$,所以$\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AR}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.
(2)由
(1)知,$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AB}+\lambda(-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\frac{\lambda}{2}\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{AC}+\mu(-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB})=\frac{\mu}{3}\overrightarrow{AB}+(1 - \mu)\overrightarrow{AC}$.由平面向量基本定理,得$\begin{cases}1 - \lambda=\frac{\mu}{3}\frac{\lambda}{2}=1 - \mu\end{cases}$,解得$\begin{cases}\lambda=\frac{4}{5}\\\mu=\frac{3}{5}\end{cases}$.

6. (2025 · 江苏南京一中期中)已知向量 $\boldsymbol{a}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},1\right),\boldsymbol{b}=(-\sqrt{3},0)$.若 $(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$,则 $\lambda$ 等于（C）

A.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
B.$-\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 6.C

7. (2025 · 湖北黄冈中学月考)已知 $P(2,0)$,$Q(3,2)$,向量 $\boldsymbol{a}=(1,-2)$,则向量 $\overrightarrow{PQ}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影向量为（C）

A.$\left(\frac{3}{5},\frac{6}{5}\right)$
B.$\left(-\frac{3}{5},-\frac{6}{5}\right)$
C.$\left(-\frac{3}{5},\frac{6}{5}\right)$
D.$\left(\frac{3}{5},-\frac{6}{5}\right)$

答案： 7.C