《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. 已知向量$\overrightarrow{OA}=(3,-2), \overrightarrow{OB}=(-5,-1)$，则向量$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$的坐标是 (A)

A.$(-4, \frac{1}{2})$
B.$(4, -\frac{1}{2})$
C.$(-8,1)$
D.$(8,1)$

答案： 1. A

2. (2024·山东滨州期末) 已知点$A(1,4), B(2,3), C(x,1)$。若$A,B,C$三点共线，则$x$的值是 (C)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 2. C

3. (2025·广西桂林中学月考) 已知$A(2,3), B(4,-3)$，点$P$在线段$AB$的延长线上，且$|\overrightarrow{AP}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{BP}|$，则点$P$的坐标是 (A)

A.$(8,-15)$
B.$(-8,15)$
C.$(15,-8)$
D.$(-15,8)$

答案： 3. A

4. 已知向量$a=(2x+1,4), b=(2-x,3)$。若$a // b$，则实数$x$的值等于$\frac {1} {2}$。

答案： 4. $\frac {1} {2}$

5. (2025·湖北省荆州中学月考) 已知$A(-2,4), B(3,-1), C(-3,-4)$，且$\overrightarrow{AB}=a, \overrightarrow{BC}=b, \overrightarrow{CA}=c$。若$\overrightarrow{CM}=3c, \overrightarrow{CN}=-2b$，求：
(1) $3a+b-2c$；
(2) 满足$a=mb+nc$的实数$m,n$的值；
(3) 点$M,N$的坐标及向量$\overrightarrow{MN}$的坐标。

答案： 5. 解：
(1)由题意，得$\boldsymbol {a} = \overrightarrow {AB} = (3, -1) - (-2, 4) = (5, -5)$，$\boldsymbol {b} = \overrightarrow {BC} = (-3, -4) - (3, -1) = (-6, -3)$，$\boldsymbol {c} = \overrightarrow {CA} = (-2, 4) - (-3, -4) = (1, 8)$，所以$3\boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} - 2\boldsymbol {c} = 3(5, -5) + (-6, -3) - 2(1, 8) = (7, -34)$。
(2)因为$m\boldsymbol {b} + n\boldsymbol {c} = m(-6, -3) + n(1, 8) = (-6m + n, -3m + 8n) = (5, -5)$，所以$\begin{cases} -6m + n = 5, \\ -3m + 8n = -5, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = -1, \\ n = -1. \end{cases}$
(3)设$O$为坐标原点。因为$\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OC} = 3\boldsymbol {c}$，所以$\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OC} + 3\boldsymbol {c} = (-3, -4) + 3(1, 8) = (0, 20)$，即$M(0, 20)$。又$\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OC} = -2\boldsymbol {b}$，所以$\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OC} - 2\boldsymbol {b} = (-3, -4) - 2(-6, -3) = (9, 2)$，即$N(9, 2)$。所以$\overrightarrow {MN} = (9, -18)$。

6. 已知向量$a=(1,-2), b=(m,4)$，且$a // b$，则$2a-b$等于 (C)

A.$(4,0)$
B.$(0,4)$
C.$(4,-8)$
D.$(-4,8)$

答案： 6. C

7. 设向量$a=(1,-3), b=(-2,4)$。若表示向量$4a, 3b-2a, c$的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量$c$为 (D)

A.$(1,-1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-4,6)$
D.$(4,-6)$

答案： 7. D

8. 在$□ ABCD$中，若$\overrightarrow{AD}=(3,7), \overrightarrow{AB}=(-2,3)$，对角线的交点为$O$，则$\overrightarrow{CO}$等于 (B)

A.$\left(-\frac{1}{2},5\right)$
B.$\left(-\frac{1}{2},-5\right)$
C.$\left(\frac{1}{2},-5\right)$
D.$\left(\frac{1}{2},5\right)$

答案： 8. B

9. (多选题)(2024·湖南邵阳期末) 下列各组向量中，可以作为基底的是 (BD)

A.$e_1=(0,0), e_2=(1,-2)$
B.$e_1=(-1,2), e_2=(5,7)$
C.$e_1=(3,5), e_2=(6,10)$
D.$e_1=(1,1), e_2=(1,-1)$

答案： 9. BD

10. (多选题) 已知向量$\overrightarrow{OA}=(1,-3), \overrightarrow{OB}=(2,-1), \overrightarrow{OC}=(m+1,m-2)$。若点$A,B,C$能构成三角形，则实数$m$的值可以是 (ABD)

A.$-2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$1$
D.$-1$

答案： 10. ABD

11. 已知$D,E$分别为$\triangle ABC$的边$AB,AC$的中点，$\overrightarrow{DE}=(3,4)$，点$B$的坐标为$(-2,-3)$，则点$C$的坐标为$(4, 5)$。

答案： 11. $(4, 5)$

12. 已知$A(-3,0), B(0,2), O$为坐标原点，点$C$在$\angle AOB$内，且$\angle AOC=45°$。设$\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB} (\lambda \in \mathbb{R})$，则$\lambda$的值为$\frac {2} {5}$。

答案： 12. $\frac {2} {5}$