《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

13. 如图，六边形 $ A_1A_2A_3A_4A_5A_6 $ 是一个正六边形，连接 $ A_1A_3 $，$ A_1A_4 $，$ A_1A_5 $。将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列：$ \overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_3} $，$ \overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_4} $，$ \overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_5} $，$ \overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_6} $。

答案：
13.解:如图，过点$A_3$作$A_1A_2$的垂线，交$A_1A_2$的延长线于点$A_7$，过点$A_6$作$A_2A_1$的垂线，交$A_2A_1$的延长线于点$A_8$，连接$A_2A_4$。根据向量投影的定义，可得$|\overrightarrow{A_1A_3}| · \cos \langle \overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3} \rangle = |\overrightarrow{A_1A_2}|$，$|\overrightarrow{A_1A_4}| \cos \langle \overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_4} \rangle = |\overrightarrow{A_1A_2}|$，$|\overrightarrow{A_1A_5}| \cos \langle \overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_5} \rangle = 0$，$|\overrightarrow{A_1A_6}| · \cos \langle \overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_6} \rangle = -|\overrightarrow{A_2A_1}|$，所以$\overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_3} = |\overrightarrow{A_1A_2}| · |\overrightarrow{A_1A_3}|$，$\overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_4} = |\overrightarrow{A_1A_2}|^2$，$\overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_5} = 0$，$\overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_6} = -|\overrightarrow{A_1A_2}| · |\overrightarrow{A_2A_1}| ＜ 0$。所以$\overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_3} ＞ \overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_4} ＞ \overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_5} ＞ \overrightarrow{A_1A_2} · \overrightarrow{A_1A_6}$。

14. 教材改编 P24T24 如图，$ AB $ 是圆 $ C $ 的一条弦，则下列条件中，能得出 $ \overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AB} = 2 $ 的是（C）


A.圆 $ C $ 的半径为 $ 2 $
B.圆 $ C $ 的半径为 $ 1 $
C.弦 $ AB $ 的长为 $ 2 $
D.弦 $ AB $ 的长为 $ 1 $

答案： 14.C

15. （2024·广东肇庆期末）已知向量 $ \boldsymbol{e}_1 $，$ \boldsymbol{e}_2 $ 满足 $ |\boldsymbol{e}_1| = 1 $，$ |\boldsymbol{e}_2| = \sqrt{3} $，$ \boldsymbol{e}_1 $ 与 $ \boldsymbol{e}_2 $ 的夹角为 $ \frac{5\pi}{6} $。
（1）求 $ \boldsymbol{e}_1 · \boldsymbol{e}_2 $ 的值；
（2）若 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2 $，$ \boldsymbol{b} = -3\boldsymbol{e}_1 $，求 $ \cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle $ 的值；
（3）若 $ \boldsymbol{e}_1 $ 在 $ \boldsymbol{e}_2 $ 上的投影向量为 $ \boldsymbol{c} $，求 $ |\lambda\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{c}| (\lambda \in \mathbf{R}) $ 的最小值。

答案： 15.解:
(1)因为$|\boldsymbol{e}_1| = 1$，$|\boldsymbol{e}_2| = \sqrt{3}$，$\boldsymbol{e}_1$与$\boldsymbol{e}_2$的夹角为$\frac{5\pi}{6}$，所以$\boldsymbol{e}_1 · \boldsymbol{e}_2 = |\boldsymbol{e}_1| · |\boldsymbol{e}_2| · \cos \frac{5\pi}{6} = 1 × \sqrt{3} × (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2}$。
(2)因为$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = (\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2) · (-3\boldsymbol{e}_1) = -3\boldsymbol{e}_1^2 - 6\boldsymbol{e}_2 · \boldsymbol{e}_1 = -3 - 6 × (-\frac{3}{2}) = 6$，$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{(\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2)^2} = \sqrt{\boldsymbol{e}_1^2 + 4\boldsymbol{e}_1 · \boldsymbol{e}_2 + 4\boldsymbol{e}_2^2} = \sqrt{1 + 4 × (-\frac{3}{2}) + 4 × 3} = \sqrt{7}$，$|\boldsymbol{b}| = |-3\boldsymbol{e}_1| = 3$，所以$\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{6}{\sqrt{7} × 3} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$。
(3)因为$\boldsymbol{e}_1$在$\boldsymbol{e}_2$上的投影向量为$\boldsymbol{c} = |\boldsymbol{e}_1| · \cos \frac{5\pi}{6} · \frac{\boldsymbol{e}_2}{|\boldsymbol{e}_2|} = 1 × (-\frac{\sqrt{3}}{2}) × \frac{\boldsymbol{e}_2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_2$，所以$|\lambda\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{c}| = \sqrt{(\lambda\boldsymbol{e}_1 + \frac{1}{2}\boldsymbol{e}_2)^2} = \sqrt{\lambda^2\boldsymbol{e}_1^2 + \lambda\boldsymbol{e}_1 · \boldsymbol{e}_2 + \frac{1}{4}\boldsymbol{e}_2^2} = \sqrt{\lambda^2 - \frac{3}{2}\lambda + \frac{3}{4}} = \sqrt{(\lambda - \frac{3}{4})^2 + \frac{3}{16}}$。所以当$\lambda = \frac{3}{4}$时，$|\lambda\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{c}| (\lambda \in \mathbf{R})$取得最小值，为$\frac{\sqrt{3}}{4}$。