《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. 已知复数$ z_1 = 1 + 2 i $，$ z_2 = 3 + 2 i $，则$ z_1 + z_2 $等于（D）

A.$ 4 $
B.$ 4 i $
C.$ 2 + 4 i $
D.$ 4 + 4 i $

答案： 1. D

2. (2025·河南许昌期中)复数$ (4 + i) - (1 + 5 i) $的虚部为（A）

A.$ -4 $
B.$ 4 $
C.$ -4 i $
D.$ 4 i $

答案： 2. A

3. (2025·湖南常德期末)在复平面内，复数$ z_1 $，$ z_2 $对应的向量分别是$ \overrightarrow{OA} = (1, 2) $，$ \overrightarrow{OB} = (2, 2) $，则$ |z_1 + z_2| $等于（C）

A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $

答案： 3. C

4. (2025·山东泰安肥城期中)已知复平面上点$ M $对应的复数是$ 1 $，点$ N $对应的复数是$ i $，则向量$ \overrightarrow{MN} $对应的复数是$ $$-1 + \mathrm{i}$$ $。

答案： 4. $-1 + \mathrm{i}$

5. 已知$ a, b \in R $，$ A(1, 2) $，$ B(a, 1) $，$ C(2, 3) $，$ D(-1, b) $是复平面内的四个点，且向量$ \overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{CD} $对应的复数分别为$ z_1 $，$ z_2 $。
(1) 若$ z_1 + z_2 = 1 + i $，求$ z_1 $，$ z_2 $；
(2) 若$ |z_1 + z_2| = 2 $，$ z_1 - z_2 $为实数，求$ a $，$ b $的值。

答案： 5. 解：
(1) 因为$\overrightarrow{AB} = (a,1) - (1,2) = (a - 1,-1)$，$\overrightarrow{CD} = (-1,b) - (2,3) = (-3,b - 3)$，所以$z_1 = (a - 1) - \mathrm{i}$，
$z_2 = -3 + (b - 3)\mathrm{i}$，则$z_1 + z_2 = (a - 4) + (b - 4)\mathrm{i}$. 又因为
$z_1 + z_2 = 1 + \mathrm{i}$，所以$\begin{cases}a - 4 = 1,\\b - 4 = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 5,\\b = 5.\end{cases}$所以$z_1 = 4 - \mathrm{i}$，
$z_2 = -3 + 2\mathrm{i}$.
(2) 由
(1)，得$z_1 + z_2 = (a - 4) + (b - 4)\mathrm{i}$，
$z_1 - z_2 = (a + 2) + (2 - b)\mathrm{i}$. 因为$\vert z_1 + z_2 \vert = 2$，$z_1 - z_2$为实
数，所以$\begin{cases}(a - 4)^2 + (b - 4)^2 = 4,\\2 - b = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4,\\b = 2.\end{cases}$

6. 如图，在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是$ 1 + 2 i $，$ -2 + i $，$ 0 $，则这个正方形的第四个顶点对应的复数为（D）


A.$ 3 + i $
B.$ 3 - i $
C.$ 1 - 3 i $
D.$ -1 + 3 i $

答案： 6. D

7. 已知$ A $，$ B $分别是复数$ z_1 $，$ z_2 $在复平面内对应的点，$ O $是坐标原点。若$ |z_1 + z_2| = |z_1 - z_2| $，则$ \triangle AOB $一定是（B）

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

答案： 7. B

8. (2025·四川巴中期末)已知复数$ z_1 = a + 2 i $，$ z_2 = -4 + b i $，$ a, b \in R $。若$ z_1 + z_2 $为实数，$ z_1 - z_2 $为纯虚数，则$ a + b $等于（B）

A.$ 6 $
B.$ -6 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

答案： 8. B

9. (多选题)在复平面内有一个$ □ OABC $，$ O $为坐标原点，点$ A $对应的复数为$ z_1 = 1 + i $，点$ B $对应的复数为$ z_2 = 1 + 2 i $，点$ C $对应的复数为$ z_3 $，则下列结论正确的是（ACD）

A.$ z_1 - z_2 = - i $
B.点$ C $位于第二象限
C.$ z_1 + z_3 = z_2 $
D.$ |z_1 - z_3| = |\overrightarrow{AC}| $

答案： 9. ACD

10. (多选题)设复数$ z $的共轭复数为$ \overline{z} $，则下列结论正确的是（AD）

A.$ z + \overline{z} \in R $
B.$ z - \overline{z} $是纯虚数
C.若$ z = \cos \frac{\pi}{5} + i\sin \frac{3\pi}{5} $，则$ |z| = 1 $
D.若$ |z - i| = 1 $，则$ |z| $的最大值为$ 2 $

答案： 10. AD