《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

8. （2024·云南曲靖期末）如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，$ PA \perp $ 底面 $ ABCD $，且底面 $ ABCD $ 为菱形，$ M $ 是棱 $ PC $ 上的一个动点。若要使得平面 $ MBD \perp $ 平面 $ PCD $，则应补充的一个条件可以是 （B）

A.$ MD \perp MB $
B.$ MD \perp PC $
C.$ AB \perp AD $
D.$ M $ 是棱 $ PC $ 的中点

答案： 8.B

9. 如图，在斜三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ A_1B_1 \perp A_1C_1 $，$ B_1C \perp A_1C_1 $，则点 $ C $ 在平面 $ A_1B_1C_1 $ 上的射影点 $ H $ 必在 （A）

A.直线 $ A_1B_1 $ 上
B.直线 $ B_1C_1 $ 上
C.直线 $ A_1C_1 $ 上
D.$ \triangle A_1B_1C_1 $ 的内部

答案： 9.A

10. （多选题）如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，平面 $ PAD \perp $ 平面 $ ABCD $，$ PA = PD $，$ E $ 为 $ AD $ 的中点，则下列结论正确的是 （ABC）

A.$ PE \perp AC $
B.$ PE \perp BC $
C.平面 $ PBE \perp $ 平面 $ ABCD $
D.平面 $ PBE \perp $ 平面 $ PAD $

答案： 10.ABC

11. 如图，在直二面角 $ \alpha - AB - \beta $ 中，$ AC $ 和 $ BD $ 分别在平面 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 内，它们都垂直于 $ AB $，且 $ AB = 4 $，$ AC = 6 $，$ BD = 8 $，则 $ CD = $2√29。

答案： 11.2√29

12. （2025·广东深圳期中）如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 是直角梯形，$ AD // BC $，$ AB \perp BC $，$ AB = BC = 1 $，$ AD = 2 $，$ PA \perp $ 平面 $ ABCD $，$ PA = 2 $。
（1）求证：$ CD \perp $ 平面 $ PAC $；
（2）求证：平面 $ PAC \perp $ 平面 $ PCD $；
（3）求二面角 $ P - CD - A $ 的余弦值。

答案：
12. 解：
(1) 证明：由底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB = BC = 1，可得AB⊥AD，AC = √(AB² + BC²)= √2.如图，取AD的中点F，连接CF，则AF = DF = 1/2AD = 1.因为AB⊥AD，AB = BC = AF = 1，AF//BC，所以四边形ABCF是正方形，则CF = 1.所以易得CD = √(DF² + CF²)= √2.又因为AD = 2，所以AC² + CD² = 2 + 2 = 4 = AD².所以AC⊥CD.因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为PA∩AC = A，且PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC.
(2) 证明：由
(1)知，CD⊥平面PAC，CD⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.
(3) 因为CD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以PC⊥CD.又因为AC⊥CD，平面PCD∩平面ACD = CD，所以∠PCA为二面角P - CD - A的平面角.因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.所以在Rt△PAC中，AC = √2，PA = 2，PC = √(AC² + PA²)= √6.所以cos∠PCA = AC/PC = √2/√6 = √3/3，即二面角P - CD - A的余弦值为√3/3.

13. 如图，$ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 为空间四点，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 2 $，$ AC = BC = \sqrt{2} $，等边三角形 $ ADB $ 以 $ AB $ 为轴运动，当平面 $ ADB \perp $ 平面 $ ABC $ 时，$ CD = $2。

答案： 13. 2