《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

8. (多选题)如图，两射线$OA$与$OB$交于点$O$，则下列向量中，终点落在涂色区域内（不含边界）的是 (AB)

A.$\overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB}$
B.$\frac{3}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB}$
C.$\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB}$
D.$\frac{3}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{5} \overrightarrow{OB}$

答案： 8.AB

9. 已知向量$a$在基底$\{e_1, e_2\}$下可以表示为$a = 2e_1 + 3e_2$. 若$a$在基底$\{e_1 + e_2, e_1 - e_2\}$下可表示为$a = \lambda (e_1 + e_2) + \mu (e_1 - e_2)$，则$\lambda =$$\frac{5}{2}$，$\mu =$-$\frac{1}{2}$.

答案： 9.$\frac{5}{2}$ $-\frac{1}{2}$

10. (2025·广东汕头期中)在$\triangle ABC$中，$D, E, F$分别是$AB, BC, CA$的中点，$BF$与$CD, AE$交于点$O$，设$\overrightarrow{AB} = a, \overrightarrow{AC} = b$，则用$a, b$表示$\overrightarrow{AO} =$$\frac{1}{3}(a + b)$.

答案： 10.$\frac{1}{3}(a + b)$

11. 已知四边形$ABCD$是菱形，$AC, BD$是其对角线，用向量方法证明：$AC \perp BD$.

答案： 11. 证明:设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$。因为四边形$ABCD$为菱形，所以$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$。又因为$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})·(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{b}^2-\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2 = 0$。所以$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BD}$，即$AC\perp BD$。

12. 核心素养 直观想象 如图，$OM // AB$，点$P$在由射线$OM$，线段$OB$及$AB$的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且$\overrightarrow{OP} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB}$，则$x$的取值范围是(-∞,0)；当$x = -\frac{1}{2}$时，$y$的取值范围是$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。

答案： 12.(-∞,0) ($\frac{1}{2},\frac{3}{2}$)

13. 核心素养 逻辑推理 如图，在$□ ABCD$中，$E$是$AB$的中点，$F, G$分别是$AD, BC$的四等分点$(AF = \frac{1}{4} AD, BG = \frac{1}{4} BC)$. 设$\overrightarrow{AB} = a, \overrightarrow{AD} = b$.
(1) 用$a, b$表示$\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG}$.
(2) 如果$|b| = 2|a|$，那么$EF, EG$有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论。

答案： 13. 解:
(1)由题意，得$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a},\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$，所以$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a},\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$。
(2)$EF$与$EG$互相垂直。证明:因为$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{EG}=(\frac{1}{4}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a})·(\frac{1}{4}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a})=\frac{1}{16}\overrightarrow{b}^2-\frac{1}{4}\overrightarrow{a}^2$，又$|b| = 2|a|$，所以$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{EG}=0$，即$EF\perp EG$。所以$EF$与$EG$互相垂直。