《2025年通成学典课时作业本高中数学必修第二册人教版》

1. (2025·新课标Ⅰ卷)$(1 + 5i)i$的虚部为（C）

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$6$

答案： 1.C

2. (2025·甘肃白银期中)方程$x^2 - x + 4 = 0$的复数根为（A）

A.$\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{15}}{2}i$
B.$-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{15}}{2}i$
C.$1 \pm \sqrt{15}i$
D.$-1 \pm \sqrt{15}i$

答案： 2.A

3. (2025·山东济南一中月考)设复数$z = \frac{2}{1 + i^3}$，则$\overline{z}$等于（B）

A.$1 + i$
B.$1 - i$
C.$-1 + i$
D.$-1 - i$

答案： 3.B

4. (2025·天津和平期中)已知$a,b \in \mathbf{R}$，$i$是虚数单位.若$(1 + i)(1 - bi) = a$，则$|a + bi| = $$\sqrt{5}$.

答案： 4.$\sqrt{5}$

5. (2025·浙江嘉兴期中)已知$z = 1 + 2i$是关于$x$的方程$x^2 + px + q = 0$的一个根，其中$p,q$为实数.
(1) 求$p,q$的值；
(2) 设复数$z_1 = m - 3i$，若$z_1 · z$是纯虚数，求实数$m$的值.

答案： 5. 解：
(1) 由(1+2i)²+p(1+2i)+q=0，得(-3+p+q)+(2p+4)i=0，所以$\begin{cases} -3+p+q=0,\\2p+4=0,\end{cases} $解得$\begin{cases}p=-2,\\q=5.\end{cases}$
(2) 由题意知，z₁·z=(m-3i)·(1+2i)=m+6+(2m-3)i 是纯虚数，所以$\begin{cases}m+6=0,\\2m-3≠0,\end{cases} $解得m=-6。

6. (2025·黑龙江齐齐哈尔期中)已知复数$z$满足$(z + 1)i = 1 + i$，则$z$等于（A）

A.$-i$
B.$i$
C.$-1$
D.$1$

答案： 6.A

7. (2025·湖北武汉二中月考)在复平面内，$\frac{2 - i}{1 + i}$对应的点位于（D）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 7.D

8. 设$a,b,c,d \in \mathbf{R}$，则复数$(a + bi)(c + di)$为实数的充要条件是（D）

A.$ad - bc = 0$
B.$ac - bd = 0$
C.$ac + bd = 0$
D.$ad + bc = 0$

答案： 8.D

9. (多选题)下列各式的运算结果为纯虚数的是（BC）

A.$i^3(1 + i)^2$
B.$i^2(1 - i)^2$
C.$\frac{1 + i}{1 - i}$
D.$(\frac{1 - i}{1 + i})^2$

答案： 9.BC

10. (多选题)(2025·广东金山中学期中)已知复数$z = \frac{1 + i}{1 - i}$，则下列结论正确的是（BD）

A.$z^{2025}$的虚部是$i$
B.$|z + i| = 2$
C.$z · \overline{z} = -1$
D.在复平面内，复数$\overline{z} + z · i$对应的点位于第三象限

答案： 10.BD

11. 已知$i$为虚数单位，则$\frac{1}{i} + \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^5} + \frac{1}{i^7} = $0.

答案： 11.0

12. (2024·安徽淮南期中)已知复数$z = a - 3i(a \in \mathbf{R})$.若$z$是关于$x$的方程$x^2 - 2x + 10 = 0$的一个根，则$a = $1；若复数$z^2$在复平面内对应的点位于第三象限，则$a$的取值范围是(0,3).

答案： 12.1 (0,3)