《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

21. （本小题满分 12 分）[2022·辽宁重点高中协作体高一期末]春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001 年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川、重庆、江西等地，四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了 8 棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量（单位：kg）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：

已知该基地共有 40 亩（1 亩≈667m²）地，每亩地有 55 棵春见柑橘树.
(1) 根据这 8 棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比.
(2) 已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克 5 元，市场销售价格为每千克 10 元. 若该基地所有的春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元.

答案： 21. 思维路径：
(1) 分别求得未使用新技术和使用新技术后的年产量平均值→求增加的百分比。
(2) 求得使用新技术后的年总产量→计算总利润。
[解]
(1) 未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量的平均值$\bar{x}_1 = \frac{1}{8} × (30 + 32 + 33 + 30 + 34 + 30 + 34 + 33) = 32(kg)$，
使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量的平均值$\bar{x}_2 = \frac{1}{8} × (40 + 39 + 40 + 37 + 42 + 38 + 42 + 42) = 40(kg)$，
故可估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比约为$\frac{40 - 32}{32} × 100\% = 25\%$。
(2) 该基地使用新技术后春见柑橘的年总产量约为$40 × 40 × 55 = 88000(kg)$，
故该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润约为$88000 × 0.8 × (10 - 5) + 88000 × 0.2 × (10 × 0.8 - 5) = 404800 = 40.48$（万元）。

22. （本小题满分 12 分）某单位开展岗前培训期间，甲、乙 2 人参加了 5 次考试，成绩统计如下：

(1) 根据有关统计知识回答问题：若从甲、乙 2 人中选出 1 人上岗，你认为选谁合适？请说明理由.
(2) 根据有关概率知识解答以下问题：若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过 3 分，则称该次考试两人“水平相当”. 由上述 5 次成绩统计，任意抽查两次考试，求至少有一次考试两人“水平相当”的概率.

答案： 22. 破题关键：
(1) 先求出甲和乙的平均成绩相同，再求出甲和乙的成绩的方差，方差较小的发挥比较稳定，应该派他去；
(2) 从5次考试的成绩中，任意取出2次的成绩，所有的样本点有10个，用列举法求得满足条件至少有一次考试两人“水平相当”的有7个，由此求得所求事件的概率。
[解]
(1) 甲的平均成绩为$\bar{x}_甲 = \frac{82 + 82 + 79 + 95 + 87}{5} = 85$，乙的平均成绩为$\bar{x}_乙 = \frac{95 + 75 + 80 + 90 + 85}{5} = 85$，故甲、乙二人的平均水平一样。甲的成绩的方差为$s_甲^2 = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x}_甲)^2 = 31.6$，乙的成绩的方差为$s_乙^2 = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x}_乙)^2 = 50$，$\therefore s_甲^2 ＜ s_乙^2$，故派甲合适（方差越小说明成绩越稳定）。
(2) 从5次考试的成绩中，任意取出2次，所有的样本点有10个，其中，满足至少有一次考试两人“水平相当”的有7个：$(79, 80)$和$(87, 85)$，$(79, 80)$和$(82, 95)$，$(79, 80)$和$(82, 75)$，$(79, 80)$和$(95, 90)$，$(87, 85)$和$(82, 95)$，$(87, 85)$和$(82, 75)$，$(87, 85)$和$(95, 90)$，共有7个，故所求事件的概率等于$\frac{7}{10}$。