《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. 函数 $ f(x)=x^{2}+1 $，当自变量 $ x $ 由 $ 1 $ 变到 $ 1.1 $ 时，函数 $ f(x) $ 的平均变化率为(A)

A.$ 2.1 $
B.$ 1.1 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $

答案： 1. A [解析]由题意，得函数f(x)的平均变化率为$\frac{f(1.1) - f(1)}{1.1 - 1} = \frac{1.1^2 - 1^2}{0.1} = 2.1 $。故选A。

2. 对于以下四个函数：① $ y=x $；② $ y=x^{2} $；③ $ y=x^{3} $；④ $ y=\frac{1}{x} $。在区间 $ [1,2] $ 上函数的平均变化率最大的是(C)

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 2. C [解析]对于①，$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = 1 $，对于②，$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 - 1}{2 - 1} = 3 $，对于③，$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{8 - 1}{2 - 1} = 7 $，对于④，$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{2 - 1} = -\frac{1}{2} $。故选C。

3. [2022·广东广州奥林匹克中学高二阶段测试]若函数 $ f(x)=x^{2} $ 在区间 $ [x_{0},x_{0}+\Delta x] $ 上的平均变化率为 $ k_{1} $，在区间 $ [x_{0}-\Delta x,x_{0}] $ 上的平均变化率为 $ k_{2} $，则(A)

A.$ k_{1}＞k_{2} $
B.$ k_{1}＜k_{2} $
C.$ k_{1}=k_{2} $
D.$ k_{1} $ 与 $ k_{2} $ 的大小关系与 $ x_{0} $ 的取值有关

答案： 3. A [解析]$ k_1 = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{(x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x $，$ k_2 = \frac{f(x_0) - f(x_0 - \Delta x)}{\Delta x} = \frac{x_0^2 - (x_0 - \Delta x)^2}{\Delta x} = 2x_0 - \Delta x $。由题意知$\Delta x ＞ 0 $，所以$ k_1 ＞ k_2 $。故选A。

4. 以下四种说法，正确的是(D)

A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的 $ x＞0 $，$ x^{a}＞\log_{a}x $
C.对任意的 $ x＞0 $，$ a^{x}＞\log_{a}x $

答案： 4. D [解析]对于A，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如$ y = x^{\frac{1}{2}} $和$ y = 2x + 1 $在$ x \in (1, +\infty) $时，$ y = 2x + 1 $的增长速度快于$ y = x^{\frac{1}{2}} $，所以A错误；对于B，当$ a = \frac{1}{2} $时，由幂函数和对数函数的性质知，对任意的$ x ＞ 0 $，$ x^a ＞ \log_a x $不成立，所以B错误；对于C，当$ a = \frac{1}{2} $时，由指数函数和对数函数的性质知，对任意的$ x ＞ 0 $，$ a^x ＞ \log_a x $不成立，所以C错误；对于D，当$ a = \frac{1}{2} $时，由幂函数、指数函数和对数函数的性质知，不一定存在$ x_0 $，当$ x ＞ x_0 $时，总有$ a^x ＞ x^a ＞ \log_a x $，所以D正确。故选D。

5. 函数 $ f(x)=\frac{1}{x} $，$ g(x)=x^{2} $，$ h(x)=x^{-\frac{1}{2}} $ 在区间 $ (0,+\infty) $ 上的说法正确的是(C)

A.$ f(x) $ 的递减速度越来越慢，$ g(x) $ 的递减速度越来越快，$ h(x) $ 的递减速度越来越慢
B.$ f(x) $ 的递减速度越来越快，$ g(x) $ 的递减速度越来越慢，$ h(x) $ 的递减速度越来越快
C.$ f(x) $ 的递减速度越来越慢，$ g(x) $ 的递减速度越来越慢，$ h(x) $ 的递减速度越来越慢
D.$ f(x) $ 的递减速度越来越快，$ g(x) $ 的递减速度越来越快，$ h(x) $ 的递减速度越来越快

答案： 5. C 破题关键 函数图像陡峭程度反应函数值增减速度的快慢，越陡峭说明速度越快，越平整，说明速度越慢。
[解析]观察函数$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x $，$ g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x $和$ h(x) = x^{-\frac{1}{2}} $在区间$ (0, +\infty) $上的图像（图略）。由图可知函数$f(x) $的图像在区间$ (0, 1) $上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间$ (1, +\infty) $上递减较慢，且越来越慢；函数$ g(x) $的图像在区间$ (0, +\infty) $上递减较慢，且递减速度越来越慢；函数$ h(x) $的图像在区间$ (0, 1) $上递减较快，但递减速度变慢，在区间$ (1, +\infty) $上递减较慢，且越来越慢。故选C。

6. 下列函数随 $ x $ 的增大而增大且速度最快的是(A)

A.$ y=e^{x} $
B.$ y=\ln x $
C.$ y=3x $
D.$ y=e^{-x} $

答案： 6. A [解析]因为$ y = e^{-x} = \left( \frac{1}{e} \right)^x $，又$ 0 ＜ \frac{1}{e} ＜ 1 $，所以$ y = e^{-x} $随$ x $的增大而减小，故D不正确；$ y = e^x $，$ y = \ln x $与$ y = 3x $都是增函数，又因为$ y = e^x $为指数函数，所以随$ x $的增大而增大且速度最快。故选A。

7. [2022·山西太原五中高一期末]三个变量 $ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $ 随着变量 $ x $ 的变化情况如下表：

则与 $ x $ 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(C)

A.$ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $
B.$ y_{2} $，$ y_{1} $，$ y_{3} $
C.$ y_{3} $，$ y_{2} $，$ y_{1} $
D.$ y_{3} $，$ y_{1} $，$ y_{2} $

答案： 7. C [解析]由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，可知指数函数增长最快，对数函数增长最慢。由题中表格可知，$ y_1 $是幂函数型函数，$ y_2 $是指数型函数，$ y_3 $是对数型函数。故选C。