《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

5. [2022·河南许昌高一期末]鱼塘中养了某种鱼,到了收获季节,鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况,通过随机撒网的方式捕了 200 条鱼,逐个称重,发现质量(单位:$g$)都在$[500,1000]$之间,这些鱼的质量按照$[500,600)$,$[600,700)$,$[700,800)$,$[800,900)$,$[900,1000]$分组得到频率分布直方图如下:

(1)求鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值.
(2)根据这种鱼的市场情况,现有两种销售方案:
方案一:不论鱼的大小统一定价为每 100g 10 元;
方案二:质量小于 700g 的鱼,每 100g 8 元;质量在$[700,800)$(g)之间的鱼,每 100g 12 元;质量不小于 800g 的鱼,每 100g 10 元.方案二需要付分拣费:每 100 条鱼 50 元.
请根据收入的估计值,帮该鱼塘主人选择合适的销售方案.
注:频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表.

答案： 5.[解]
(1)鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值为$550×0.1 + 650×0.2 + 750×0.3 + 850×0.25 + 950×0.15 = 765(g)$。
(2)以这200条鱼的销售收入为参考，
若选方案一，销售收入的估计值为$\frac{765}{100}×10×200 = 15300$（元）。
若选方案二，由题意得，200条鱼中质量在区间$[500,600)$，$[600,700)$，$[700,800)$，$[800,900)$，$[900,1000]$的条数依次约为20，40，60，50，30。
销售收入减去分拣费的估计值为$\frac{550}{100}×8×20 + \frac{650}{100}×8×40 + \frac{750}{100}×12×60 + \frac{850}{100}×10×50 + \frac{950}{100}×10×30 - 100 = 15360$（元）。
因为$15360 ＞ 15300$，所以应该选方案二。

6. 若样本数据是以频率分布直方图的形式给出,这时已不存在原始数据,因此要确定其$p\%$分位数,只能估算,其$p\%$分位数即为频率分布直方图中使左侧小矩形面积之和等于$p\%$的分点值.例如,若某校 100 名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图,则可估计其 80%分位数为133.3.

答案： 6.133.3 【解析】分数在130以下的学生所占比例为$5\% + 18\% + 30\% + 22\% = 75\%$。分数在140以下的学生所占比例为$75\% + 15\% = 90\%$。因此，80%分位数一定位于$[130,140)$内，由$130 + 10×\frac{0.80 - 0.75}{0.90 - 0.75} \approx 133.3$，可以估计80%分位数为133.3。
易错规避：若80%分位数为$a$，则$x = a$左侧的矩形面积和为0.80。