《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2022·福建厦门湖滨中学高一期中]若 $a = \sqrt[3]{(-4)^3},b = \sqrt{(-6)^2}$，则 $a + b$ 等于 (D)

A.$-10$
B.$10$
C.$-2$
D.$2$

答案： 1. D 破题关键：清楚$\sqrt[n]{a^n}$中底数$a$的符号与指数$n$的奇偶之间的关系。
[解析]因为$a=\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$，$b=\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$，所以$a+b=2$。故选D。
方法总结：求$\sqrt[n]{a^n}$的值需要注意两个方面：
(1)指数$n$的奇偶性；
(2)底数$a$的符号。

2. 若 $n \in \mathbf{N},a \in \mathbf{R}$，给出下列式子：①$\sqrt[4]{(-4)^{2n}}$；②$\sqrt[4]{(-4)^{2n - 1}}$；③$\sqrt[5]{a^4}$；④$\sqrt[4]{a^5}$.其中恒有意义的个数是 (B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 2. B [解析]根据根指数是偶数时，被开方数为非负数，可知②无意义；当$a\lt0$时，$a^5\lt0$，此时④无意义；因为$(-4)^{2n}\gt0$，所以$\sqrt[4]{(-4)^{2n}}$恒有意义；因为任何数都可以开奇次方，所以$\sqrt[3]{a^2}$恒有意义。因而恒有意义的式子是①③。故选B。

3. [2022·辽宁渤海大学附属高级中学高一月考]若 $\sqrt{-2x^2 + x + 3}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是 (A)

A.$\{x|-1 \leq x \leq \frac{3}{2}\}$
B.$\{x|-2 \leq x \leq 3\}$
C.$\{x|-\frac{3}{2} \leq x \leq 1\}$
D.$\{x|-3 \leq x \leq 2\}$

答案： 3. A [解析]由题意可得$-2x^2+x+3\geq0$，即$2x^2-x-3\leq0$，解得$-1\leq x\leq\frac{3}{2}$，故选A。

4.(多选)若 $x^n = a(x \neq 0)$，则下列说法正确的是 (BD)

A.当 $n$ 为奇数时，$x$ 的 $n$ 次方根为 $a$
B.当 $n$ 为奇数时，$a$ 的 $n$ 次方根为 $x$
C.当 $n$ 为偶数时，$x$ 的 $n$ 次方根为 $\pm a$
D.当 $n$ 为偶数时，$a$ 的 $n$ 次方根为 $\pm x$

答案： 4. BD [解析]当$n$为奇数时，$a$的$n$次方根只有$x$；当$n$为偶数时，因为$(\pm x)^n=x^n=a$，所以$a$的$n$次方根有2个，为$\pm x$。故选BD。

5. 已知 $0 ＜ x ＜ 1$，化简：$\sqrt{(x - \frac{1}{x})^2 + 4} - \sqrt{(x + \frac{1}{x})^2 - 4}$.

答案： 5. 思维路径：将两个被开方数展开后，再配方→由$0\lt x\lt1$用不等式性质判断$x+\frac{1}{x}$，$x-\frac{1}{x}$的符号→去掉根号，并化简得结果。
[解]因为$0\lt x\lt1$，所以$\frac{1}{x}\gt1$，所以$x+\frac{1}{x}\gt0$，$x-\frac{1}{x}\lt0$。
$\sqrt{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4}-\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-4}=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}-2+4}-\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+2-4}$
$=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+2}-\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}-2}=\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}-\sqrt{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2}$
$=x+\frac{1}{x}+x-\frac{1}{x}=2x$。
方法总结：常见的两个公式：$\sqrt{(a - b)^2 + 4ab} = |a + b|$，$\sqrt{(a + b)^2 - 4ab} = |a - b|$。

6. [2022·广东深圳宝安高一期末]下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (B)

A.$-\sqrt{x} = (-x)^{\frac{1}{2}}$
B.$x^{-\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{1}{x})^3}(x ＞ 0)$
C.$\sqrt[6]{y^2} = y^{\frac{1}{3}}$
D.$[\sqrt[3]{(-x)^2}]^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}}(x ＜ 0)$

答案： 6. B [解析]$-\sqrt{x}=-x^{\frac{1}{2}}$，故A错误；$x^{-\frac{3}{4}}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{\left(\frac{1}{x}\right)^3}$$(x\gt0)$，故B正确；$\sqrt[6]{y^2}=y^{\frac{2}{6}}=|y|^{\frac{1}{3}}$，故C错误；因为$x\lt0$，所以$\left[\sqrt[3]{(-x)^2}\right]^{\frac{3}{4}}=\left\{\left[(-x)^2\right]^{\frac{1}{3}}\right\}^{\frac{3}{4}}=\left[(-x)^2\right]^{\frac{1}{4}}=(-x)^{\frac{1}{2}}$，故D错误。选B。