《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2022·福建三明第一中学高一月考]已知函数 $ f(x)=\log$${a}(a^{x}+1)+bx(a＞0 $ 且 $ a \neq 1,b \in \mathbf{R}) $ 是偶函数，函数 $ g(x)=a^{x}(a＞0 $，且 $ a \neq 1) $。
(1)求 $ b $ 的值；
(2)若函数 $ h(x)=f(x)-\frac{1}{2}x - a $ 有零点，求 $ a $ 的取值范围；
(3)当 $ a = 2 $ 时，若 $ \forall x_{1} \in (0,+\infty),\exists x_{2} \in \mathbf{R} $，使得 $ g(2x_{1})+mg(x_{1})-f(2x_{2})＞0 $ 恒成立，求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 1. 【解】
(1)因为$ f(x) $为偶函数，所以$ \forall x \in \mathbf{R} $，都有$ f(-x) = f(x) $，即$ \log_{a}(a^{-x} + 1) - bx = \log_{a}(a^{x} + 1) + bx $对$ \forall x \in \mathbf{R} $恒成立，即$ \log_{a}(a^{-x} + 1) - \log_{a}(a^{x} + 1) = 2bx $对$ \forall x \in \mathbf{R} $恒成立，亦即$ \log_{a}\left( \frac{a^{x} + 1}{a^{x}} \right) - \log_{a}(a^{x} + 1) = \log_{a}\frac{1}{a^{x}} = -x = 2bx $对$ \forall x \in \mathbf{R} $恒成立，所以$ b = -\frac{1}{2} $。
(2)因为$ h(x) = \log_{a}(a^{x} + 1) - x - a $有零点，所以$ \log_{a}(a^{x} + 1) - x = a $有解，即$ \log_{a}\left( 1 + \frac{1}{a^{x}} \right) = a $有解。
令$ p(x) = \log_{a}\left( 1 + \frac{1}{a^{x}} \right) $，则函数$ y = p(x) $的图像与直线$ y = a $有交点（将函数零点问题转化为图像交点问题，从而确定参数的取值范围）。
当$ 0 ＜ a ＜ 1 $时（研究指数与对数函数的相关性质时，若底数为字母参数，则需分类讨论），$ 1 + \frac{1}{a^{x}} ＞ 1 $，所以$ p(x) = \log_{a}\left( 1 + \frac{1}{a^{x}} \right) ＜ 0 $，故$ \log_{a}\left( 1 + \frac{1}{a^{x}} \right) = a $无解。
当$ a ＞ 1 $时，令$ u = 1 + \frac{1}{a^{x}} $。因为$ u = 1 + \frac{1}{a^{x}} $在$ (-\infty, +\infty) $上单调递减，且$ u = 1 + \frac{1}{a^{x}} ＞ 1 $，所以$ p(x) = \log_{a}\left( 1 + \frac{1}{a^{x}} \right) $在$ (-\infty, +\infty) $上单调递减，所以$ p(x) $的值域为$ (0, +\infty) $。由$ \log_{a}\left( 1 + \frac{1}{a^{x}} \right) = a $有解，可得$ a ＞ 0 $，此时$ a ＞ 1 $。
综上可知，$ a $的取值范围是$ (1, +\infty) $。
(3)当$ a = 2 $时，$ f(x) = \log_{2}(2^{x} + 1) - \frac{1}{2}x $。
当$ x_{2} \in \mathbf{R} $时，$ f(2x_{2}) = \log_{2}\left( 2^{2x_{2}} + 1 \right) - x_{2} = \log_{2}\left( \frac{2^{2x_{2}} + 1}{2^{x_{2}}} \right) = \log_{2}(2^{x_{2}} + 2^{-x_{2}}) $。
因为$ 2^{x_{2}} + 2^{-x_{2}} \geq 2\sqrt{2^{x_{2}} × 2^{-x_{2}}} = 2 $，当且仅当$ x_{2} = 0 $时取等号，所以$ f(2x_{2}) $的最小值为$ 1 $。
因为$ \forall x_{1} \in (0, +\infty) $，$ \exists x_{2} \in \mathbf{R} $，使得$ g(2x_{1}) + mg(x_{1}) ＞ f(2x_{2}) $成立，所以$ g(2x_{1}) + mg(x_{1}) $的最小值要大于$ f(2x_{2}) $的最小值$ 1 $（注意存在性问题与恒成立的区别），即$ 2^{2x_{1}} + m2^{x_{1}} ＞ 1 $对任意的$ x_{1} ＞ 0 $恒成立。
设$ t = 2^{x_{1}} $，$ t ＞ 1 $。当$ t ＞ 1 $时，$ t^{2} + mt ＞ 1 $恒成立，即$ m ＞ \frac{1}{t} - t $对$ t ＞ 1 $恒成立。
设函数$ h(t) = \frac{1}{t} - t $。因为$ h(t) $在$ (1, +\infty) $上单调递减，所以$ h(t) ＜ h(1) = 0 $，所以$ m \geq 0 $，即实数$ m $的取值范围为$ [0, +\infty) $。
$\boldsymbol{方法总结}$
(1)零点不是点，是函数图像与$ x $轴交点的横坐标；
(2)求零点可转化为求对应方程的解；
(3)不能用公式求根的方程$ f(x) = 0 $，可以与函数$ y = f(x) $联系起来，利用函数的图像和性质找零点，然后得到方程的解。
$\boldsymbol{水平诊断}$ 四基体现：基本知识→指数函数与对数函数的奇偶性、单调性与函数的零点；基本技能→将$ h(x) $的零点转化为函数$ y = p(x) $图像与直线$ y = a $的交点、将存在性问题与恒成立问题转化为求两个函数的最值问题；基本思想→由函数建立方程求参数$ b $体现方程思想、求函数$ y = p(x) $图像与直线$ y = a $的交点时，对参数$ a $用了分类讨论思想、将零点问题转化为图像的交点问题体现转化思想；基本活动经验→建立方程求参数$ b $的值、将参数的取值范围与函数的单调性结合来解决、将不等式恒成立与能成立问题转化为求函数$ [g(2x_{1}) + mg(x_{1})] $的最小值和函数$ f(2x_{2}) $的最大值问题。

2. [2022·河南郑州高一期末]有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵。科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数 $ v=\frac{1}{2}\log$${3}\frac{x}{100}-\lg x_{0} $，单位是 $ \mathrm{km}/\mathrm{min} $，其中 $ x $ 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，$ x_{0} $ 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差。(参考数据：$ \lg 2 \approx 0.30,\lg 3 \approx 0.48,3^{1.2} \approx 3.74,3^{1.4} \approx 4.66,3^{1.56} \approx 5.55 $)
(1)若 $ x_{0}=3 $，候鸟每分钟的耗氧量为 $ 8100 $ 个单位时，求它的飞行速度。
(2)若 $ x_{0}=6 $，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为 $ 2.5 \mathrm{km}/\mathrm{min} $，雌鸟的飞行速度为 $ 1.5 \mathrm{km}/\mathrm{min} $，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？

答案： 2. 【解】
(1)因为候鸟的飞行速度可以表示为函数$ v = \frac{1}{2}\log_{3}\frac{x}{100} - \lg x_{0} $，所以将$ x_{0} = 3 $，$ x = 8100 $代入函数式，可得$ v = \frac{1}{2}\log_{3}81 - \lg 3 = 2 - 0.48 = 1.52 $（注意对数的运算），故此时候鸟飞行速度为$ 1.52 \, km/min $。
(2)因为候鸟的飞行速度可以表示为函数$ v = \frac{1}{2}\log_{3}\frac{x}{100} - \lg x_{0} $，所以将$ x_{0} = 6 $，$ v = 0 $代入函数式，可得$ 0 = \frac{1}{2}\log_{3}\frac{x}{100} - \lg 6 $，即$ \log_{3}\frac{x}{100} = 2\lg 6 = 2(\lg 2 + \lg 3) = 1.56 $，解得$ x = 555 $。故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为$ 555 $个单位。
(3)设雄鸟每分钟的耗氧量为$ x_{1} $，雌鸟每分钟的耗氧量为$ x_{2} $，依题意可得$ \begin{cases} 2.5 = \frac{1}{2}\log_{3}\frac{x_{1}}{100} - \lg x_{0}, \\ 1.5 = \frac{1}{2}\log_{3}\frac{x_{2}}{100} - \lg x_{0}, \end{cases} $
两式相减可得$ 1 = \frac{1}{2}\log_{3}\frac{x_{1}}{x_{2}} $，即$ \frac{x_{1}}{x_{2}} = 9 $。
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的$ 9 $倍。
$\boldsymbol{方法总结}$ 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答。
$\boldsymbol{水平诊断}$ 四基与四能体现：基本知识→对数运算、对数函数模型的应用、对数与指数的互化；基本思想→由函数解析式求当$ x_{0} = 6 $，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位；基本活动经验→由自变量的值求函数值，或由函数值求自变量的值；分析问题的能力→如何根据函数解析式确定雄鸟与雌鸟的飞行速度之间的关系；解决问题的能力→第
(1)
(2)
(3)问的解答。