《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

18. （本小题满分 12 分）已知函数$f(x)=\log_{a}(3 - x)+\log_{a}(x + 3)(a ＞ 0$，且$a\neq1)$.
（1）求函数$f(x)$的定义域；
（2）判断函数$f(x)$的奇偶性，并说明理由.

答案： 18.【解】
(1)对于函数$f(x)$，有$\begin{cases}3 - x\gt0\\x + 3\gt0\end{cases}$，解得$-3\lt x\lt3$，则函数$f(x)$的定义域为$(-3,3)$。
(2)函数$f(x)$为偶函数。理由如下：
因为函数$f(x)$的定义域为$(-3,3)$，且$f(-x)=\log_{a}(3 + x)+\log_{a}(3 - x)=f(x)$，所以函数$f(x)$为偶函数。

19. （本小题满分 12 分）[2022·河北石家庄第十五中学高一期中]已知幂函数$f(x)=(m - 1)^{2}x^{m^{2}-4m + 2}$在$(0,+\infty)$上单调递增，函数$g(x)=2x - k$.
（1）求$m$的值；
（2）当$x\in[1,2]$时，记$f(x)$，$g(x)$的值域分别为集合$A$，$B$，若$A\cup B = A$，求实数$k$的取值范围.

答案： 19.【解】
(1)$\because f(x)$为幂函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，$\therefore\begin{cases}(m - 1)^{2}=1\\m^{2}-4m + 2\gt0\end{cases}$，解得$m = 0$。
(2)由
(1)知$f(x)=x^{2}$，$\therefore$当$x\in[1,2]$时，$f(x)\in[1,4]$，即$A = [1,4]$。
当$x\in[1,2]$时，$g(x)\in[2 - k,4 - k]$，即$B = [2 - k,4 - k]$。
$\because A\cup B = A$，$\therefore B\subseteq A$，$\therefore\begin{cases}2 - k\geq1\\4 - k\leq4\end{cases}$，解得$0\leq k\leq1$。
故实数$k$的取值范围为$[0,1]$。

20. （本小题满分 12 分）[2022·山东菏泽高一期末]函数$f(x)=\log_{2}(x^{2}-2ax - 5a)$在$(-\infty,-2]$上单调递减，$g(x)=4^{x}-2^{x + 1}a - 5a$.
（1）求$a$的取值范围；
（2）当$x\in[-2,2]$时，求$g(x)$的最小值.

答案： 20.【解】
(1)设$t(x)=x^{2}-2ax - 5a$，则$f(x)=\log_{2}(x^{2}-2ax - 5a)=\log_{2}[t(x)]$。
由题意可得$\begin{cases}t(-2)\gt0\\-2\leq a\end{cases}$，解得$-2\leq a\lt4$，所以$a$的取值范围为$[-2,4)$。
(2)因为$x\in[-2,2]$，所以$2^{x}\in\left[\frac{1}{4},4\right]$。
$g(x)=4^{x}-2^{x + 1}a - 5a=(2^{x}-a)^{2}-a^{2}-5a$。
若$a\in\left[\frac{1}{4},4\right)$，则当$2^{x}=a$时，$g(x)$有最小值$-a^{2}-5a$；
若$a\in\left[-2,\frac{1}{4}\right)$，则当$2^{x}=\frac{1}{4}$时，$g(x)$有最小值$\frac{1 - 88a}{16}$。

21. （本小题满分 12 分）[2022·山东烟台高一期末]直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型营销模式. 据统计，某职业主播的粉丝量不低于 2 万人时，其货物销售利润$y$（单位：万元）随粉丝量$x$（单位：万人）的变化情况如下表所示.

（1）根据表中数据，分别用模型$y=\log_{a}(x + m)+b$和$y = c\sqrt{x + n}+d$建立$y$关于$x$的函数解析式.
（2）已知该主播的粉丝量为 9 万人时，货物销售利润为 3.3 万元，你认为（1）中哪个函数模型更合理？说明理由.（参考数据：$\sqrt{57}\approx7.55$）

答案： 21.【解】
(1)若选用$y=\log_{a}(x + m)+b$，
则依题意得$\begin{cases}\log_{a}(2 + m)+b=\frac{1}{4}\\\log_{a}(3 + m)+b=\frac{5}{4}\\\log_{a}(5 + m)+b=\frac{9}{4}\end{cases}$，
解得$a = 2$，$m = -1$，$b=\frac{1}{4}$，则$y=\log_{2}(x - 1)+\frac{1}{4}(x\geq2)$。
若选用$y = c\sqrt{x + n}+d$，则依题意得$\begin{cases}c\sqrt{2 + n}+d=\frac{1}{4}\\c\sqrt{3 + n}+d=\frac{5}{4}\\c\sqrt{5 + n}+d=\frac{9}{4}\end{cases}$，
解得$c=\sqrt{2}$，$n=-\frac{15}{8}$，$d=-\frac{1}{4}$，则$y=\sqrt{2}×\sqrt{x-\frac{15}{8}}-\frac{1}{4}(x\geq2)$。
(2)对于函数$y=\log_{2}(x - 1)+\frac{1}{4}$，当$x = 9$时，$y=\frac{13}{4}=3.25$（万元）。
对于函数$y=\sqrt{2}×\sqrt{x-\frac{15}{8}}-\frac{1}{4}$，
当$x = 9$时，$y=\left(\frac{\sqrt{57}}{2}-\frac{1}{4}\right)$万元。
因为$\left\vert\frac{\sqrt{57}}{2}-\frac{1}{4}-3.3\right\vert\approx0.225\gt\vert3.25 - 3.3\vert = 0.05$，
所以选用$y=\log_{2}(x - 1)+\frac{1}{4}(x\geq2)$模型更合理。

22. （本小题满分 12 分）如图，已知过原点$O$的直线与函数$y=\log_{8}x$的图像交于$A$，$B$两点，分别过点$A$，$B$作$y$轴的平行线与函数$y=\log_{2}x$的图像交于$C$，$D$两点.

（1）试利用相似形的知识，证明$O$，$C$，$D$三点在同一条直线上.
（2）当$BC// x$轴时，求$A$点的坐标.

答案：
22.
(1)【证明】假设过点$A$，$B$作$y$轴的平行线与$x$轴交于$E$，$F$两点，如图所示。设点$A$，$B$的横坐标分别为$x_{1}$，$x_{2}$。由题设知$x_{1}\gt1$，$x_{2}\gt1$，则点$A$，$B$的纵坐标分别为$\log_{8}x_{1}$，$\log_{8}x_{2}$。
$\because A$，$B$在过点$O$的直线上，且$AC// y$轴，$BD// y$轴，
$\therefore\angle AOE=\angle BOF$，$\angle AEO=\angle BFO = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle AEO\sim\triangle BFO$，$\therefore\frac{AE}{OE}=\frac{BF}{OF}$，即$\frac{\log_{8}x_{1}}{x_{1}}=\frac{\log_{8}x_{2}}{x_{2}}$。
点$C$，$D$的坐标分别为$(x_{1},\log_{2}x_{1})$，$(x_{2},\log_{2}x_{2})$。
$\because\log_{2}x_{1}=\frac{\log_{8}x_{1}}{\log_{8}2}=3\log_{8}x_{1}$，$\log_{2}x_{2}=\frac{\log_{8}x_{2}}{\log_{8}2}=3\log_{8}x_{2}$，
而$\frac{\log_{2}x_{1}}{x_{1}}=\frac{3\log_{8}x_{1}}{x_{1}}$，$\frac{\log_{2}x_{2}}{x_{2}}=\frac{3\log_{8}x_{2}}{x_{2}}$，
$\therefore\frac{\log_{2}x_{1}}{x_{1}}=\frac{\log_{2}x_{2}}{x_{2}}$，即$\frac{CE}{OE}=\frac{DF}{OF}$。
又$\because\angle CEO=\angle DFO = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle CEO\sim\triangle DFO$，
$\therefore\angle COE=\angle DOE$。
由此可知，点$O$，$C$，$D$在同一条直线上。

(2)【解】由$BC$平行于$x$轴知$\log_{2}x_{1}=\log_{8}x_{2}$，则有$\log_{2}x_{1}=\frac{1}{3}\log_{2}x_{2}$，即$x_{2}=x_{1}^{3}$。
由
(1)可知$\frac{\log_{8}x_{1}}{x_{1}}=\frac{\log_{8}x_{2}}{x_{2}}$，即$x_{2}\log_{8}x_{1}=x_{1}\log_{8}x_{2}$。
将$x_{2}=x_{1}^{3}$代入可得$x_{1}^{3}\log_{8}x_{1}=3x_{1}\log_{8}x_{1}$。
$\because x_{1}\gt1$，$\therefore\log_{8}x_{1}\neq0$，$\therefore x_{1}^{3}=3x_{1}$，解得$x_{1}=\sqrt{3}$或$x_{1}=-\sqrt{3}$（舍去）。
因此点$A$的坐标为$\left(\sqrt{3},\frac{1}{2}\log_{8}3\right)$。