《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. 已知样本 $ x_{1},x_{2},·s,x_{n} $ 的平均数为 $ \overline{x} $，样本 $ y_{1},y_{2},·s,y_{m} $ 的平均数为 $ \overline{y}(\overline{x} \neq \overline{y}) $，若样本 $ x_{1},x_{2},·s,x_{n},y_{1},y_{2},·s,y_{m} $ 的平均数 $ \overline{z}=a\overline{x}+(1 - a)\overline{y} $，其中 $ 0 ＜ a ＜ \frac{1}{2} $，则 $ n,m $ 的大小关系为 (A)

A.$ n ＜ m $
B.$ n ＞ m $
C.$ n = m $
D.不能确定

答案： 1. A 破题关键 利用平均数的定义求出$\overline{z}$与$\overline{x},\overline{y}$的关系式，和题干中的$\overline{z}=a\overline{x}+(1 - a)\overline{y}$对比，可得$\frac{n}{n + m}=a$，$\frac{m}{n + m}=1 - a$，再结合$0\lt a\lt\frac{1}{2}$，最终求出结果。
【解析】由题意可得$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+·s +x_{n}}{n}$，$\overline{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+·s +y_{m}}{m}$，$\overline{z}=\frac{x_{1}+x_{2}+·s +x_{m}+y_{1}+y_{2}+·s +y_{m}}{n + m}=\frac{n}{n + m}·\frac{x_{1}+x_{2}+·s +x_{n}}{n}+\frac{m}{n + m}·\frac{y_{1}+y_{2}+·s +y_{m}}{m}=\frac{n}{n + m}·\overline{x}+\frac{m}{n + m}·\overline{y}=a\overline{x}+(1 - a)\overline{y}$，所以$\frac{n}{n + m}=a$，$\frac{m}{n + m}=1 - a$。又$0\lt a\lt\frac{1}{2}$，则$1 - a\gt a$，所以$0\lt\frac{n}{n + m}\lt\frac{1}{2}\lt\frac{m}{n + m}$，故$n\lt m$。选A。

2. 某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产的量相同，生产成本每个 $ 6 $ 元，售价每个 $ 8 $ 元，未售出的面包降价处理，以每个 $ 5 $ 元的价格当天全部处理完.
(1) 若该蛋糕店一天生产 $ 30 $ 个这种面包，求当天的利润 $ y $（单位：元）关于当天需求量 $ n $（单位：个，$ n \in \mathbf{N} $）的函数解析式.
(2) 蛋糕店记录了 $ 30 $ 天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：

假设蛋糕店在这 $ 30 $ 天内每天生产 $ 30 $ 个这种面包，求这 $ 30 $ 天的日利润（单位：元）的平均数及方差.
(3) 蛋糕店规定：若连续 $ 10 $ 天的日需求量都不超过 $ 10 $ 个，则立即停止这种面包的生产. 现给出连续 $ 10 $ 天日需求量的统计数据为“平均数为 $ 6 $，方差为 $ 2 $”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？给出理由.

答案： 2.【解】
(1)由题意可知，当天需求量$n\lt30$时，当天的利润$y = 8n + 5(30 - n)-6×30 = 3n - 30$；
当天需求量$n\geq30$时，当天的利润$y = 8×30 - 6×30 = 60$。
故当天的利润$y$关于当天需求量$n$的函数解析式为$y=\begin{cases}3n - 30,n\lt30\\60,n\geq30\end{cases}$，$n\in\mathbf{N}$。
(2)由题意可得
|日需求量$n$|28|29|30|31|32|33|
|----|----|----|----|----|----|----|
|日利润|54|57|60|60|60|60|
|频数|3|4|6|6|7|4|
所以这30天的日利润的平均数为$\frac{54×3 + 57×4 + 60×(6 + 6 + 7 + 4)}{30}=59$（元），
方差为$\frac{(54 - 59)^{2}×3 + (57 - 59)^{2}×4 + (60 - 59)^{2}×(6 + 6 + 7 + 4)}{30}=3.8$。
(3)根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产。理由如下：
由$s^{2}=\frac{1}{10}\left[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+·s +(x_{10}-\overline{x})^{2}\right]=\frac{1}{10}\left[(x_{1}-6)^{2}+(x_{2}-6)^{2}+·s +(x_{10}-6)^{2}\right]=2$，
可得$(x_{1}-6)^{2}+(x_{2}-6)^{2}+·s +(x_{10}-6)^{2}=20$，
所以$(x_{k}-6)^{2}\leq20(1\leq k\leq10,k\in\mathbf{N},x_{k}\in\mathbf{N})$，所以$x_{k}\leq10$，
由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，
故一定要停止这种面包的生产。

3. 高二年级有甲、乙、丙、丁 $ 4 $ 支辩论队进行辩论比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为 $ i $ 的方框表示第 $ i $ 场比赛，方框中是进行该场比赛的两支辩论队，第 $ i $ 场比赛的胜者称为“胜者 $ i $”，负者称为“负者 $ i $”，第 $ 6 $ 场为决赛，获胜的是冠军. 已知甲每场比赛获胜的概率均为 $ \frac{2}{3} $，而乙、丙、丁之间相互比赛，每支辩论队胜负的可能性相同.

(1) 求甲获得冠军的概率；
(2) 求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.

答案： 3. 思路路径 每场比赛的结果相互独立→分析一个人的路径问题→分析多个人的路径问题。
【解】
(1)甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜。所以甲获得冠军的概率为$\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+2×\left(\frac{2}{3}\right)^{3}×\frac{1}{3}=\frac{40}{81}$。
(2)若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况，即甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜。所以甲与乙在决赛相遇的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{5}{27}$。若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况，即乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜。同时考虑甲在第4场和第5场的结果（逻辑推理，分析出乙在决赛的对手及其可能的晋级路径），乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{108}$，丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为$\frac{5}{27}+\frac{7}{108}+\frac{7}{108}=\frac{17}{54}$。

4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 $ 30 $ 名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图，假设得分的中位数为 $ a $，众数为 $ b $，平均值为 $ c $，则 (D)


A.$ a = b = c $
B.$ a = b ＜ c $
C.$ a ＜ b ＜ c $
D.$ b ＜ a ＜ c $

答案： 4. D 【解析】由题图知$b = 5$。由中位数的定义得中位数应该是第15个数与第16个数的平均值，由题图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，所以$a=\frac{5 + 6}{2}=5.5$。$c=\frac{3×2 + 4×3 + 5×10 + 6×6 + 7×3 + 8×2 + 9×2 + 10×2}{30}\approx5.97\gt5.9$，所以$b\lt a\lt c$。故选D。