《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

12. [2022·河南安阳高一期末]银行定期储蓄存单的密码由 6 个数字组成，每个数字均是 $0\sim9$ 中的一个. 小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超过 2 次就按对密码的概率为(D)

A.$\dfrac{9}{100}$
B.$\dfrac{3}{20}$
C.$\dfrac{19}{100}$
D.$\dfrac{1}{5}$

答案： 12. D 【解析】依题意，忘记密码中的那一位数字，第 1 次就按对的概率$p_1=\frac{1}{10}$，第 2 次才按对的概率$p_2=\frac{9×1}{10×9}=\frac{1}{10}$，显然第 1 次按对与第 2 次按对的事件是互斥事件，所以不超过 2 次就按对密码的概率为$p_1 + p_2=\frac{1}{5}$。故选 D。

13. 现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 $A_1,A_2,A_3$ 通晓日语，$B_1,B_2,B_3$ 通晓俄语，$C_1,C_2$ 通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组.
(1) 求 $A_1$ 被选中的概率；
(2) 求 $B_1$ 和 $C_1$ 不全被选中的概率.

答案： 13.【解】
(1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的样本空间$\varOmega =\{(A_1,B_1,C_1),(A_1,B_1,C_2),(A_1,B_2,C_1),(A_1,B_2,C_2),(A_1,B_3,C_1),(A_1,B_3,C_2),(A_2,B_1,C_1),(A_2,B_1,C_2),(A_2,B_2,C_1),(A_2,B_2,C_2),(A_2,B_3,C_1),(A_2,B_3,C_2),(A_3,B_1,C_1),(A_3,B_1,C_2),(A_3,B_2,C_1),(A_3,B_2,C_2),(A_3,B_3,C_1),(A_3,B_3,C_2)\}$，由 18 个样本点组成。
由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的。
用$M$表示“$A_1$恰被选中”这一事件，则$M = \{(A_1,B_1,C_1),(A_1,B_1,C_2),(A_1,B_2,C_1),(A_1,B_2,C_2),(A_1,B_3,C_1),(A_1,B_3,C_2)\}$，
事件$M$由 6 个样本点组成，所以$P(M)=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$。
(2)用$N$表示“$B_1$和$C_1$不全被选中”这一事件，
则其对立事件$\overline{N}$表示“$B_1,C_1$全被选中”这一事件。
由于$\overline{N}=\{(A_1,B_1,C_1),(A_2,B_1,C_1),(A_3,B_1,C_1)\}$，
事件$\overline{N}$由 3 个样本点组成，所以$P(\overline{N})=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$。
由对立事件的概率加法公式得$P(N)=1 - P(\overline{N})=1 - \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。

14. [2022·山东潍坊高一期末]袋子里有 6 个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有 1 个红球、2 个白球、3 个黑球，从中任取 2 个球.
(1) 写出样本空间；
(2) 求取出两球颜色不同的概率；
(3) 求取出的两个球中至多有一个黑球的概率.

答案： 14.【解】
(1)将 1 个红球记为$a$，2 个白球记为$b_1,b_2$，3 个黑球记为$c_1,c_2,c_3$，则样本空间$\varOmega =\{(a,b_1),(a,b_2),(a,c_1),(a,c_2),(a,c_3),(b_1,b_2),(b_1,c_1),(b_1,c_2),(b_1,c_3),(b_2,c_1),(b_2,c_2),(b_2,c_3),(c_1,c_2),(c_1,c_3),(c_2,c_3)\}$，共 15 个样本点。
(2)记事件$A$为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是 1 红 1 白、1 红 1 黑、1 白 1 黑，则$A = \{(a,b_1),(a,b_2),(a,c_1),(a,c_2),(a,c_3),(b_1,c_1),(b_1,c_2),(b_1,c_3),(b_2,c_1),(b_2,c_2),(b_2,c_3)\}$，$A$包含 11 个样本点，所以$P(A)=\frac{11}{15}$。
(3)方法一 记事件$B$为“取出的两个球中至多有一个黑球”，则两球颜色可能是 1 红 1 白、1 红 1 黑、1 白 1 黑、2 白，则$B = \{(a,b_1),(a,b_2),(a,c_1),(a,c_2),(a,c_3),(b_1,b_2),(b_1,c_1),(b_1,c_2),(b_1,c_3),(b_2,c_1),(b_2,c_2),(b_2,c_3)\}$，$B$包含 12 个样本点，所以$P(B)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$。
方法二 记事件$B$为“取出的两个球中至多有一个黑球”，事件$C$为“取出的两个球均为黑球”，$C = \{(c_1,c_2),(c_1,c_3),(c_2,c_3)\}$，显然$B$与$C$互为对立事件，$C$包含 3 个样本点，所以$P(B)=1 - P(C)=1 - \frac{3}{15}=\frac{4}{5}$。

15. 王斌同学在解答问题“同时掷两个骰子，计算向上的点数之和是 5 的概率”时，给出了如下答案：
记 $\{m,n\}$ 表示掷两个骰子向上的点数分别为 $m,n$，则掷两个骰子的所有可能结果为 $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,6)$，共 21 种.
其中，“向上的点数之和是 5”的有 $(1,4)$ 和 $(2,3)$，共 2 个，所以所求概率为 $\dfrac{2}{21}$.
(1) 你认为王斌同学的解答正确吗？简述理由.
(2) 如果王斌同学的解法不正确，请给出正确的解答.

答案： 15.【解】
(1)王斌同学的解答不正确。
因为所列的可能结果不都是等可能事件，如$\{1,1\}$表示掷两个骰子得到的点数都是 1，只有一种情况；
而$\{1,2\}$表示掷两个骰子得到的点数一个是 1，另一个是 2，有两种情况。
(2)设事件$A$为“向上的点数之和是 5”。
记$(a,b)$为掷两个骰子后第一个骰子点数为$a$，第二个骰子点数为$b$，
则掷两个骰子的所有可能结果为$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),·s,(6,6)$，共 36 种。
其中事件$A$包含$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$，共 4 种。
由古典概型的概率公式得$P(A)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。