《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

9. [2022·湖北华中师范大学附属中学高一期中]从某班级中任意选出三名学生，设事件 $ A $ 表示“三名学生都是女生”，事件 $ B $ 表示“三名学生都不是女生”，事件 $ C $ 表示“三名学生不都是女生”，则下列结论中不正确的是(B)

A.$ A $ 与 $ C $ 为互斥事件
B.$ A $ 与 $ B $ 互为对立事件
C.$ B $ 与 $ C $ 存在包含关系
D.$ B $ 与 $ C $ 不是对立事件

答案： 9.B 【解析】事件$C$的可能情况有：一女二男、二女一男、三男，事件$B$为“三男”，故$A$与$C$为互斥事件，故$A$不符合题意；$A$与$B$为互斥事件，但不互为对立事件，故$B$符合题意；$B$与$C$存在包含关系，故$C,D$不符合题意.选$B$.
易错规避 不能正确区分“都是”“都不是”“不都是”之间的逻辑关系，其中“都是”和“不都是”为对立关系.

10. (多选)[2022·浙江宁波高一期末]某校高一年级开设了甲、乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件 $ \Omega_1 = $“只选择甲兴趣班”，$ \Omega_2 = $“至少选择一个兴趣班”，$ \Omega_3 = $“至多选择一个兴趣班”，$ \Omega_4 = $“一个兴趣班都不选”，则(BC)

A.$ \Omega_1 $ 与 $ \Omega_3 $ 是互斥事件
B.$ \Omega_2 $ 与 $ \Omega_4 $ 既是互斥事件也是对立事件
C.$ \Omega_2 $ 与 $ \Omega_3 $ 不是互斥事件
D.$ \Omega_3 $ 与 $ \Omega_4 $ 是互斥事件

答案： 10.BC 【解析】事件$\Omega_1=$“只选择甲兴趣班”；$\Omega_2=$“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲、乙两种兴趣班；$\Omega_3=$“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；$\Omega_4=$“一个兴趣班都不选”.所以$\Omega_1$与$\Omega_3$不是互斥事件，故$A$错误；$\Omega_2$与$\Omega_4$既是互斥事件也是对立事件，故$B$正确；$\Omega_2$与$\Omega_3$不是互斥事件，故$C$正确；$\Omega_3$与$\Omega_4$不是互斥事件，故$D$错误.选$BC$.

11. [2022·河北承德高一月考]核酸检测的可能结果有阴性和阳性两种. 甲、乙、丙 3 位同学分别进行了核酸检测，事件 $ A $ 表示“至多 1 人核酸检测结果呈阴性”，事件 $ B $ 表示“3 人核酸检测结果均呈阴性”，事件 $ C $ 表示“至多 1 人核酸检测结果呈阳性”，则互为对立事件的是(B)

A.$ A $ 与 $ B $
B.$ A $ 与 $ C $
C.$ B $ 与 $ C $
D.不存在

答案： 11.B 【解析】甲、乙、丙$3$位同学核酸检测的所有可能结果是$3$人呈阳性，$2$人呈阳性与$1$人呈阴性，$1$人呈阳性与$2$人呈阴性，$3$人呈阴性，所以互为对立事件的是$A$与$C$.故选$B$.

12. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 $ \frac{2}{5} $，和棋的概率为 $ \frac{1}{3} $，则乙获胜的概率为(D)

A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{1}{5} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{4}{15} $

答案： 12.D 【解析】记“甲获胜”为事件$A$，“和棋”为事件$B$，“乙获胜”为事件$C$，则$P(A)=\frac{2}{5}$，$P(B)=\frac{1}{3}$，所以$P(C)=1 - P(A) - P(B)=\frac{4}{15}$.故选$D$.

13. (多选)在一次随机试验中，$ A,B,C,D $ 是彼此互斥的事件，且 $ A\cup B\cup C\cup D $ 是必然事件，则下列说法正确的是(BD)

A.$ A\cup B $ 与 $ C $ 是互斥事件，也是对立事件
B.$ B\cup C $ 与 $ D $ 是互斥事件，但不是对立事件
C.$ A\cup C $ 与 $ B\cup D $ 是互斥事件，但不是对立事件
D.$ A $ 与 $ B\cup C\cup D $ 是互斥事件，也是对立事件

答案：
13.BD 思路路径 $A,B,C,D$彼此互斥，且$A\cup B\cup C\cup D$是
【解析】由于$A,B,C,D$彼此互斥，且$A\cup B\cup C\cup D$是必然事件，故事件的关系如图.
由图可知，任何一个事件与其余三个事件的并事件互为对立事件，任何两个事件的并事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，但不是对立事件，任何两个事件的并事件与其余两个事件的并事件互为对立事件.故选$BD$.

14. 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效. 设事件 $ A = $“甲元件正常”，事件 $ B = $“乙元件正常”.
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件 $ A,B $ 以及它们的对立事件；
(3) 用集合的形式表示事件 $ A\cup B $ 和事件 $ \overline{A}\cap\overline{B} $，并说明它们的含义及关系.

答案： 14.【解】
(1)用$x_1,x_2$分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用$(x_1,x_2)$表示这个并联电路的状态.用$1$表示元件正常，$0$表示元件失效，则样本空间为$\Omega=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$.
(2)根据题意，可得$A=\{(1,0),(1,1)\}$，$B=\{(0,1),(1,1)\}$，$\overline{A}=\{(0,0),(0,1)\}$，$\overline{B}=\{(0,0),(1,0)\}$.
(3)$A\cup B=\{(0,1),(1,0),(1,1)\}$，$\overline{A}\cap \overline{B}=\{(0,0)\}$.$A\cup B$表示电路工作正常，$\overline{A}\cap \overline{B}$表示电路工作不正常.$A\cup B$和$\overline{A}\cap \overline{B}$互为对立事件.