《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

7. [2022·上海杨浦高一期末]若 $\log_{\frac{1}{2}}(4 - x^{2})＞\log_{\frac{1}{2}}(2x + 1)$，则实数 $x$ 的取值范围是(A)

A.$1 ＜ x ＜ 2$
B.$x ＜ - 3$ 或 $x ＞ 1$
C.$- 2 ＜ x ＜ 2$
D.$-\frac{1}{2}＜x＜2$

答案： 7. A [解析]由题意得$\begin{cases}4 - x^{2} ＜ 2x + 1,\\2x + 1 ＞ 0,\\4 - x^{2} ＞ 0,\end{cases}$解得1＜x＜2，故选A。

8. [2022·浙江衢州高一期末]函数 $g(x)=\log_{2}(x^{2}-5x + 6)$ 在(3,+∞)（答案不唯一）上单调递增(填写一个满足条件的区间).

答案： 8. (3,+∞)（答案不唯一） [解析]由x²−5x+6＞0得(x−2)(x−3)＞0，解得x＜2或x＞3，所以函数g(x)的定义域为(−∞,2)∪(3,+∞)（解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则）。令t=x²−5x+6，则y=log₂t。因为t=x²−5x+6在(−∞,2)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，而y=log₂t在定义域内单调递增，所以g(x)在(3,+∞)上单调递增。本题答案不唯一。

9. [2022·甘肃张掖第二中学高一期末]已知函数 $f(x)=\log_{\frac{1}{4}}(4^{x}-1)$.
(1)求 $f(x)$ 的定义域；
(2)讨论 $f(x)$ 的单调性；
(3)求 $f(x)$ 在区间 $[\frac{1}{2},2]$ 上的值域.

答案： 9. [解]
(1)由f(x)=log₁/₄(4ˣ−1)，得4ˣ−1＞0，解得x＞0，所以函数f(x)的定义域为(0,+∞)。
(2)设t=4ˣ−1。因为t=4ˣ−1在(0,+∞)上为增函数，而y=log₁/₄t为减函数，所以f(x)=log₁/₄(4ˣ−1)在(0,+∞)上为减函数。
(3)由
(2)知函数f(x)在[$\frac{1}{2}$,2]上单调递减。因为f($\frac{1}{2}$)=log₁/₄(4^(1/2)−1)=0，f
(2)=log₁/₄(4²−1)=log₁/₄15，所以f(x)在区间[$\frac{1}{2}$,2]上的值域为[log₁/₄15,0]。
方法总结 求y=logₐf(x)的值域：先求y=f(x)的值域，注意f(x)＞0，在此基础上，分a＞1和0＜a＜1两种情况，借助y=logₐx的单调性求函数y=logₐf(x)的值域。

10. 已知函数 $f(x)=\ln(2 + 2x)+\ln(3 - 3x)$，则 $f(x)$(D)

A.是奇函数，且在 $(0,1)$ 上单调递增
B.是奇函数，且在 $(0,1)$ 上单调递减
C.是偶函数，且在 $(0,1)$ 上单调递增
D.是偶函数，且在 $(0,1)$ 上单调递减

答案： 10. D [解析]对于f(x)=ln(2+2x)+ln(3−3x)，有$\begin{cases}2 + 2x ＞ 0,\\3 - 3x ＞ 0,\end{cases}$解得−1＜x＜1，则函数f(x)的定义域为(−1,1)。
∵f(−x)=ln(2−2x)+ln(3+3x)=ln[2(1−x)]+ln[3(1+x)]=ln 2+ln(1−x)+ln 3+ln(1+x)=ln(2+2x)+ln(3−3x)=f(x)，
∴ 函数f(x)为偶函数。
∵f(x)=ln[(2+2x)(3−3x)]=ln(1−x²)+ln 6，设u=1−x²，则内层函数u=1−x²在(0,1)上为减函数，外层函数y=ln u为增函数，
∴ 函数f(x)在(0,1)上为减函数。故选D。

11. 已知函数 $f(x)=\log_{a}(x + 1)+b(a ＞ 0$ 且 $a\neq1)$ 的图像恒过定点 $(0,2)$，则函数 $g(x)=|x + b|$ 的单调递增区间为[-2,+∞).

答案： 11. [-2,+∞) [解析]因为函数f(x)=logₐ(x+1)+b（a＞0且a≠1）的图像恒过定点(0,2)，所以b=2。则g(x)=|x+2|，其单调递增区间为[-2,+∞)。

12. 已知函数 $f(x)=\log_{a}x,g(x)=\log_{a}(4x - m)$，其中 $a ＞ 0$ 且 $a\neq1$.
(1)若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图像过相同定点，求实数 $m$ 的值；
(2)若当 $0 ＜ a ＜ 1$ 时，对任意 $x\in(\frac{3}{2},+\infty)$，都有 $2f(x)＜g(x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

答案： 12. 思维路径
(1)函数f(x)的图像过定点(1,0)→g(x)的图像过定点(1,0)→建立方程求得m的值。
(2)由题意logₐx²＜logₐ(4x−m)对于x＞$\frac{3}{2}$恒成立→x²＞4x−m＞0恒成立→转化为二次函数的最值问题即可求解。
[解]
(1)由对数函数的性质可知f(x)=logₐx的图像过定点(1,0)，所以g(x)的图像也过点(1,0)，故g
(1)=logₐ(4−m)=0，则4−m=1，解得m=3。故实数m的值为3。
(2)由题意得当x＞$\frac{3}{2}$时，2logₐx＜logₐ(4x−m)恒成立，即logₐx²＜logₐ(4x−m)对于x＞$\frac{3}{2}$恒成立。因为0＜a＜1，所以x²＞4x−m＞0恒成立，整理可得−x²+4x＜m＜4x。因为−x²+4x=−(x−2)²+4≤4，所以当x=2时，−x²+4x取得最大值4，所以m＞4。因为当x＞$\frac{3}{2}$时，4x＞6，所以m≤6，所以4＜m≤6。综上所述，实数m的取值范围是(4,6]。