《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. 袋内有 3 个白球和 2 个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件 $ A $，“第二次摸得白球”记为事件 $ B $，那么事件 $ A $ 与 $ B $，$ A $ 与 $ \overline{B} $ 间的关系是(A)

A.$ A $ 与 $ B $，$ A $ 与 $ \overline{B} $ 均相互独立
B.$ A $ 与 $ B $ 相互独立，$ A $ 与 $ \overline{B} $ 互斥
C.$ A $ 与 $ B $，$ A $ 与 $ \overline{B} $ 均互斥
D.$ A $ 与 $ B $ 互斥，$ A $ 与 $ \overline{B} $ 相互独立

答案： 1. A 【解析】由于是有放回地摸球，事件$ A $的发生并不影响事件$ B $的发生（需要清楚放回和不放回两种情况的区别），故$ A $与$ B $，$ A $与$ \overline{B} $均相互独立。选A。

2. 若 $ P(AB)=\frac{1}{9} $，$ P(\overline{A})=\frac{2}{3} $，$ P(B)=\frac{1}{3} $，则事件 $ A $ 与 $ B $ 的关系是(C)

A.事件 $ A $ 与 $ B $ 互斥
B.事件 $ A $ 与 $ B $ 对立
C.事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立
D.事件 $ A $ 与 $ B $ 互斥又独立

答案： 2. C 破题关键 理解互斥事件与相互独立事件概念的区别。
【解析】因为$ P(AB)=\frac{1}{9} $，所以$ A $与$ B $能同时发生，不是互斥事件，故A，D错误。因为$ P(\overline{A})=\frac{2}{3} $，所以$ P(A)=\frac{1}{3} $。因为$ P(B)=\frac{1}{3} $，则$ P(A)+P(B)=\frac{2}{3}\neq1 $，所以事件$ A $与$ B $不是互为对立事件，故B错误。因为$ P(AB)=\frac{1}{9}=P(A)P(B) $，所以事件$ A $与$ B $相互独立，故C正确。选C。
方法总结 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，$ P(AB)=P(A)P(B) $。

3. [2022·江西上饶中学高一期末]“红旗 - 9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进(有两级指挥管制体制)，主要攻击高空敌机或导弹，是我国高空防空导弹的杰出代表. 现假设在一次实战对抗演习中，单发“红旗 - 9”防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为 $ 0.8 $，则两发齐射(是否成功拦截互不干扰)，敌方高速飞行器被拦截的概率为(A)

A.$ 0.96 $
B.$ 0.88 $
C.$ 1.6 $
D.$ 0.64 $

答案： 3. A 【解析】依题意，敌方高速飞行器被拦截的概率为$ 1-(1 - 0.8)×(1 - 0.8)=0.96 $。故选A。

4. (多选)[2021·广东广州外国语学校高一阶段练习]下列事件中，$ A $，$ B $ 不是相互独立事件的是(BD)

A.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，$ A $ 表示“第一次为正面向上”，$ B $ 表示“第二次为反面向上”
B.袋中有大小相同的两个白球和两个黑球，从中不放回地摸出两球，$ A $ 表示“第一次摸到白球”，$ B $ 表示“第二次摸到白球”
C.从一副除大小王的 52 张扑克牌中任取一张，$ A $ 表示“抽到 J”，$ B $ 表示“抽到的牌是黑色的”
D.$ A $ 表示“电灯泡能使用 $ 100\ h $”，$ B $ 表示“电灯泡能使用 $ 1000\ h $”

答案： 4. BD 【解析】A项中，两个事件发生与否互不影响，故$ A,B $是相互独立事件，故A不符合题意。$ A $事件发生时，影响到$ B $事件发生，则$ A,B $不是相互独立事件，故B符合题意。C项中，$ P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} $，$ P(B)=\frac{1}{2} $，$ P(AB)=\frac{2}{52}=\frac{1}{26} $，$ P(A)P(B)=\frac{1}{26} $，则$ A,B $是相互独立事件，故C不符合题意。D项中，$ P(AB)=P(B) $，则$ A,B $不是相互独立事件，故D符合题意。选BD。

5. [2022·河南南阳第一中学高一期末]已知 $ A $，$ B $ 是相互独立事件，且 $ P(A)=0.3 $，$ P(B)=0.6 $，则 $ P(\overline{A}B)= $0.42.

答案： 5. 0.42 【解析】因为$ A,B $是相互独立事件，所以$ \overline{A},B $也是相互独立事件。因为$ P(A)=0.3 $，$ P(B)=0.6 $，所以$ P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B)=(1 - 0.3)×0.6 = 0.42 $。

6. [2022·上海复旦附中高一期末]若两个事件 $ A $，$ B $ 满足 $ P(A)=P(B)=\frac{1}{3} $，且 $ A $ 和 $ B $ 是相互独立事件，则 $ P(A\cup B)= $$\frac{5}{9}$.

答案： 6. $\frac{5}{9}$ 【解析】因为$ P(A)=P(B)=\frac{1}{3} $，所以$ P(\overline{A})=P(\overline{B})=1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3} $。因为两个事件$ A,B $相互独立，则$ \overline{A},\overline{B} $相互独立，所以$ P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9} $，所以$ P(A\cup B)=1 - P(\overline{A}\cap\overline{B})=1 - \frac{4}{9}=\frac{5}{9} $。
方法总结 如果两个事件$ A,B $相互独立，则$ \overline{A},\overline{B} $也相互独立，$ P(A\cup B)=1 - P(\overline{A}\cap\overline{B}) $。