《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

18. [2022·安徽部分重点高中高一联考]幂函数 $ f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m^2 + 2m - 5} $在区间 $ (0, +\infty) $上单调递增,且 $ a + b ＞ 0 $,则 $ f(a) + f(b) $的值 (A)

A.恒大于 0
B.恒小于 0
C.等于 0
D.无法判断

答案： 18. A[解析]由函数$f(x) = (m^2 - m - 1)x^m^2 + 2m - 5$是幂函数，得$m^2 - m - 1 = 1，$解得m = 2或m = −1。当m = 2时，$f(x) = x^3；$当m = −1时，f(x) = x^−6。因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以$f(x) = x^3。$又a + b ＞ 0，所以a ＞ -b，所以f(a) ＞ f(-b) = -f(b)，所以f(a) + f(b) ＞ 0。故选A。

19. [2022·湖北黄冈中学新兴分校高一期中]在同一平面直角坐标系内,函数 $ y = x^a (a \neq 0) $和 $ y = ax - \dfrac{1}{a} $的图像可能是 (C)

答案： 19. C 破题关键：结合直线与幂函数的图像的位置关系进行判断。
[解析]若a ＞ 0，则函数y = x^a在(0,+∞)上单调递增，此时y = ax - $\frac{1}{a}$也单调递增；若a ＜ 0，则函数y = x^a在(0,+∞)上单调递减，此时y = ax - $\frac{1}{a}$也单调递减。所以当x ＞ 0时，y = x^a(a ≠ 0)和y = ax - $\frac{1}{a}$的单调性相同，所以排除A，B。选项D中，由y = x^a的图像可知a ＜ 0，此时y = ax - $\frac{1}{a}$的图像与y轴的交点为(0,-$\frac{1}{a}$)，该点在y轴正半轴上，所以排除D。故选C。

20. (多选)[2022·广东普宁高一期末]已知幂函数 $ y = f(x) $的图像经过点 $ (9,3) $,则下列结论正确的有 (BCD)

A.$ f(x) $为偶函数
B.$ f(x) $在定义域内为增函数
C.若 $ x ＞ 1 $,则 $ f(x) ＞ 1 $
D.若 $ x_2 ＞ x_1 ＞ 0 $,则 $ f \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2} \right) ＞ \dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} $

答案： 20. BCD[解析]设f(x) = x^α。将点(9,3)的坐标代入，得3 = 9^α，则α = $\frac{1}{2}$，所以f(x) = x^$\frac{1}{2}$，所以f(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以A不正确；因为$\frac{1}{2}$ ＞ 0，所以函数f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数，所以B正确；当x ＞ 1时，$\sqrt{x}$ ＞ 1，即f(x) ＞ 1，所以C正确；若x_2 ＞ x_1 ＞ 0，则$(\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2})^2 - [f(\frac{x_1 + x_2}{2})]^2 = (\frac{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}{2})^2 - (\sqrt{\frac{x_1 + x_2}{2}})^2 = \frac{x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 x_2}}{4} - \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2\sqrt{x_1 x_2} - x_1 - x_2}{4} = [f(\frac{x_1 + x_2}{2})]^2 - \frac{(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})^2}{4} ＜ 0$，即$\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} ＜ f(\frac{x_1 + x_2}{2})$，所以D正确。故选BCD。

21. (多选)已知 $ \alpha \in \{ -1,1,2,3 \} $,则使函数 $ y = x^{\alpha} $的值域为 $ \mathbf{R} $,且为奇函数的 $ \alpha $的值为(BD)

A.-1
B.1
C.2
D.3

答案： 21. BD[解析]当α = -1时，y = x^−1 = $\frac{1}{x}$，为奇函数，但值域为{y|y ≠ 0}，不满足条件；当α = 1时，y = x为奇函数，值域为R，满足条件；当α = 2时，y = x^2为偶函数，值域为{y|y ≥ 0}，不满足条件；当α = 3时，y = x^3为奇函数，值域为R，满足条件。故选BD。

22. [2022·上海大同中学高一期中]已知幂函数 $ y = (m^2 + m - 1)x^{-5m - 3} $的图像过原点,则实数 $ m $的值为−2.

答案： 22. −2[解析]因为函数$y = (m^2 + m - 1)x^−5m - 3$是幂函数，所以$m^2 + m - 1 = 1，$解得m = -2或m = 1。当m = -2时，函数$y = x^7$的图像过原点，符合题意；当m = 1时，函数y = x^−8的图像不经过原点，不符合题意。综上可知，m = -2。

23. [2022·重庆巫山高一期末]若幂函数 $ f(x) $经过点 $ (2,8) $,则满足不等式 $ f(a - 3) + f(a - 1) \leqslant 0 $的实数 $ a $的取值范围是(−∞,2].

答案： 23. (−∞,2][解析]不妨设f(x) = x^α。因为幂函数f(x)的图像过点(2,8)，所以f
(2) = 2^α = 8，解得α = 3。所以$f(x) = x^3。$易知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)为增函数。又f(a - 3) + f(a - 1) ≤ 0，所以f(a - 3) ≤ -f(a - 1) = f(1 - a)，则a - 3 ≤ 1 - a，解得a ≤ 2。所以实数a的取值范围是(−∞,2]。

24. [2022·河北武安第一中学高一阶段考试]已知幂函数 $ f(x) = (m^2 - 2m + 2)x^{5k - 2k^2} (k \in \mathbf{Z}) $是偶函数,且在 $ (0, +\infty) $上单调递增.
(1)求函数 $ f(x) $的解析式;
(2)若 $ f(2x - 1) ＜ f(2 - x) $,求实数 $ x $的取值范围.

答案： 24.[解]
(1)由题意知，m^2 - 2m + 2 = 1，解得m = 1。
易知5k - 2k^2 ＞ 0[因为函数在(0,+∞)上单调递增]，
所以0 ＜ k ＜ $\frac{5}{2}$(k ∈ Z)，所以k = 1或k = 2。
当k = 1时，f(x) = x^3不是偶函数，舍去；
当k = 2时，f(x) = x^2是偶函数。
所以f(x) = x^2。
(2)因为函数f(x)为偶函数，
所以由f(2x - 1) ＜ f(2 - x)，得f(|2x - 1|) ＜ f(|2 - x|)，
所以|2x - 1| ＜ |2 - x|，即(2x - 1)^2 ＜ (2 - x)^2，即x^2 ＜ 1，
所以x ∈ (−1,1)。
故实数x的取值范围为(−1,1)。

25. [2022·湖南师大附中高一阶段考]已知幂函数 $ f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m + 1} $的图像关于原点对称,则满足 $ (a + 1)^m ＞ (3 - 2a)^m $成立的实数 $ a $的取值范围为($\frac{2}{3}$,4).

答案： 25. ($\frac{2}{3}$,4)[解析]因为函数f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^m + 1是幂函数，所以m^2 - 3m + 3 = 1，解得m = 1或m = 2。当m = 1时，f(x) = x^2是偶函数，其图像关于y轴对称，不符合题意；当m = 2时，f(x) = x^3是奇函数，其图像关于原点对称，符合题意，所以m = 2。所以不等式(a + 1)^m ＞ (3 - 2a)^m可化为(a + 1)^2 ＞ (3 - 2a)^2，即(3a - 2)(a - 4) ＜ 0，解得$\frac{2}{3}$ ＜ a ＜ 4。所以实数a的取值范围为($\frac{2}{3}$,4)。
易错规避：根据幂函数的概念，确定参数m的取值，然后，需要针对参数m的取值情况进行分类讨论，找到符合题意的参数m的值。

26. [2022·四川凉山高一期末]已知 $ a \neq 0 $,若 $ (a + b)^{2021} + a^{2021} + 2a + b = 0 $,则 $ \dfrac{b}{a} = $ (A)

A.-2
B.-1
C.$ -\dfrac{1}{2} $
D.2

答案： 26. A[解析]设$\frac{b}{a}$ = k，则b = ak，所以由(a + b)^2021 + a^2021 + 2a + b = 0，得(a + ak)^2021 + a^2021 + 2a + ak = 0，即a^2021[(k + 1)^2021 + 1] + a(2 + k) = 0，亦即a^2020[(k + 1)^2021 + 1] + (2 + k) = 0。当(k + 1)^2021 + 1 = 0且2 + k = 0，即k = -2时，等式显然成立。当(k + 1)^2021 + 1 ≠ 0时，则有a^2020 = -$\frac{2 + k}{(k + 1)^2021 + 1}$。因为a ≠ 0，所以a^2020 = -$\frac{2 + k}{(k + 1)^2021 + 1}$ ＞ 0。当2 + k ＜ 0时，有(k + 1)^2021 + 1 ＞ 0，即(k + 1)^2021 ＞ (-1)^2021。因为函数y = x^2021是实数集上的增函数，所以由(k + 1)^2021 ＞ (-1)^2021，得k + 1 ＞ -1，则k + 2 ＞ 0。这与2 + k ＜ 0矛盾，所以(k + 1)^2021 + 1 ＞ 0不成立。当2 + k ＞ 0时，有(k + 1)^2021 + 1 ＜ 0，即(k + 1)^2021 ＜ (-1)^2021。因为函数y = x^2021是实数集上的增函数，所以由(k + 1)^2021 ＜ (-1)^2021，得k + 1 ＜ -1，则k + 2 ＜ 0，这与2 + k ＞ 0矛盾，所以(k + 1)^2021 + 1 ＜ 0不成立。综上可知，k = -2。故选A。

27. [2022·湖北华中师大一附中高一期末]已知幂函数 $ y = x^a $的图像过点 $ \left( 3, \dfrac{1}{9} \right) $,则下列两个数的大小关系为 $ (x^2 - 2x + 4)^a $≤ $ (-3)^a $.

答案： 27. ≤[解析]因为幂函数y = x^α的图像过点(3,$\frac{1}{9}$)，所以3^α = $\frac{1}{9}$，解得α = -2。所以(x^2 - 2x + 4)^α - (-3)^α = $\frac{1}{(x^2 - 2x + 4)^2} - \frac{1}{9} = \frac{1}{[(x - 1)^2 + 3]^2} - \frac{1}{9}$。因为[(x - 1)^2 + 3]^2 ≥ 9，所以0 ＜ $\frac{1}{[(x - 1)^2 + 3]^2}$ ≤ $\frac{1}{9}$，所以$\frac{1}{[(x - 1)^2 + 3]^2} - \frac{1}{9}$ ≤ 0，即(x^2 - 2x + 4)^α ≤ (-3)^α。
素养解读
| 素养 | 考查途径 |
| --- | --- |
| 数学运算 | 通过对幂函数的理解，掌握幂函数的性质，体现该素养 |
| 逻辑推理 | 通过幂函数的运算性质比较幂函数值的大小，体现该素养 |
| 数学运算 | 通过幂函数的图像特征求参数，体现该素养 |
| 逻辑推理 | 通过比较两个代数式的大小，体现该素养 |