《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

15. 声强级 $ L $ (单位: $ dB $) 与声强 $ I $ 的函数关系式为 $ L = 10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) $, 若女高音的声强级是 $ 75 dB $, 普通女性的声强级为 $ 45 dB $, 则女高音声强是普通女性声强的 (C)

A.$ 10 $ 倍
B.$ 100 $ 倍
C.$ 1000 $ 倍
D.$ 10000 $ 倍

答案： C 【解析】设女高音声强为$I_1$，普通女性声强为$I_2$。由$10\lg\left(\frac{I_1}{10^{-12}}\right) = 75$，解得$I_1 = 10^{7.5} × 10^{-12}$。由$10\lg\left(\frac{I_2}{10^{-12}}\right) = 45$，解得$I_2 = 10^{4.5} × 10^{-12}$。则$\frac{I_1}{I_2} = \frac{10^{7.5}}{10^{4.5}} = 1000$，即女高音声强是普通女性声强的$1000$倍。故选 C。

16. [2022·福建厦门高一期末]在密闭培养环境中, 某类细菌的繁殖在初期会较快, 随着单位体积内细菌数量的增加, 繁殖速度又会减慢. 在一次实验中, 检测到这类细菌在培养皿中的数量 $ y $ (单位: 百万个) 与培养时间 $ x $ (单位: $ h $) 的关系如下表所示.

根据表格中的数据画出散点图如下所示.

为了描述从第 $ 2 $ 小时开始细菌数量随时间变化的关系, 现有以下三种模型供选择:
① $ y = a\log_2 x + b $, ② $ y = a\sqrt{x - 3} + b $, ③ $ y = 2^{x - a} + b $.
(1) 选出你认为最符合实际的函数模型, 并说明理由;
(2) 利用 $ (4,4) $ 和 $ (8,4.5) $ 这两组数据求出你选择的函数模型的解析式, 并预测从第 $ 2 $ 小时开始, 至少再经过多少个小时, 细菌数量达到 $ 500 $ 万个.

答案： 【解】
(1) 由题意可得所选函数必须满足三个条件：定义域包含$[2, +\infty)$；函数在区间$[2, 8]$上单调递增；随着自变量的增加，函数值的增长速度变小。因为函数$y = a\sqrt{x - 3} + b$的定义域为$[3, +\infty)$，$x = 2$时无意义，所以②$y = a\sqrt{x - 3} + b$不符合题意；因为函数$y = 2^{x - a} + b$随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，所以③$y = 2^{x - a} + b$不符合题意；因为函数$y = a\log_2 x + b$可以同时符合上述条件，所以应该选择①$y = a\log_2 x + b$。
(2) 由题意可得$\begin{cases} a\log_2 4 + b = 2a + b = 4 \\ a\log_2 8 + b = 3a + b = 4.5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 3 \end{cases}$，则$y = \frac{1}{2}\log_2 x + 3$。令$y = \frac{1}{2}\log_2 x + 3 \geq 5$，解得$x \geq 16$。因此，至少再经过$14\ h$，细菌数量达到$500$万个。