《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2022·广东佛山高一期中]函数 $ y = 5^{-x} $ 和 $ y = 5^{x} $ 的图像关于(B)

A.$ x $ 轴对称
B.$ y $ 轴对称
C.原点对称
D.直线 $ y = x $ 对称

答案： 1. B [解析]因为底数互为倒数的两个指数函数图像关于y轴对称，所以函数y=5^(-x)和y=5^x的图像关于y轴对称。故选B。

2. 函数 $ y = a^{x} - \frac{1}{a} (a ＞ 0, a \neq 1) $ 的图像可能是(C)

答案： 2. C 破题关键：结合指数函数的图像和性质，分a＞1和0＜a＜1两种情况求解即可。
[解析]当a＞1时，$\frac{1}{a}$∈(0,1)。当x = 0时，0＜y = 1 - $\frac{1}{a}$＜1；当x = -1时，y = 0，且函数y = a^x - $\frac{1}{a}$在R上单调递增，故A，B均不符合。当0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1。当x = 0时，y＜0，且函数y = a^x - $\frac{1}{a}$在R上单调递减，故D不符合。选C。

3. (多选)已知函数 $ f(x) = a^{x} - b (a ＞ 0, a \neq 1) $ 的图像如图所示，则(BD)


A.$ a ＞ 1 $
B.$ 0 ＜ a ＜ 1 $
C.$ b ＞ 1 $
D.$ 0 ＜ b ＜ 1 $

答案： 3. BD [解析]观察题图得函数f(x)=a^x - b是单调递减的，因此0＜a＜1。设图像与y轴交点的纵坐标为y0，则0＜y0＜1。当x = 0时，y = 1 - b，于是得0＜1 - b＜1，解得0＜b＜1。故选BD。

4. 若指数函数 $ y = f(x) $ 的图像过点 $ (2, 4) $，则 $ f(x) = $2^x。

答案： 4. 2^x [解析]设f(x)=a^x（a＞0，且a≠1）。由函数y = f(x)的图像过点(2,4)，得$a^2 = 4，$解得a = 2，则f(x)=2^x。

5. [2022·山东淄博高一期末]函数 $ f(x) = 2a^{x - 3} + 1 (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 的图像必经过点(3,3)。

答案： 5. (3,3) [解析]函数f(x)=2a^(x - 3)+1，其中a＞0，a≠1。令x - 3 = 0得$x = 3[a^0 = 1（a≠0）$是解题的关键]，把x = 3代入函数的解析式得y = 3，因此函数f(x)=2a^(x - 3)+1（a＞0且a≠1）的图像必经过点(3,3)。
方法总结：解答此类问题主要是根据指数函数的性质求解。指数函数y = a^x（a＞0，a≠1）的图像恒过(0,1)点，再根据函数图像的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图像平移后恒过点的坐标。

6. [2022·海南高一期末]设 $ a = 2^{0.6}, b = 2^{0.5}, c = 0.5^{0.6} $，则(D)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ b ＜ a ＜ c $
C.$ b ＜ c ＜ a $
D.$ c ＜ b ＜ a $

答案： 6. D [解析]c = 0.5^0.6 = ($\frac{1}{2}$)^0.6 = 2^(-0.6)。指数函数y = 2^x在R上单调递增。因为 - 0.6＜0.5＜0.6，所以2^(-0.6)＜2^0.5＜2^0.6（同底数幂比较大小，当底数大于1时，指数越大幂越大），即c＜b＜a。故选D。
方法总结：（1）同底数幂比较大小，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）同指数幂比较大小，可以利用图像来判断；（3）对于底数不同，指数也不同的两个幂的大小比较，则应通过中间值来判断，常用1和0。

7. [2022·四川南充高一期末]若 $ (\frac{1}{2})^{2a + 1} ＞ (\frac{1}{2})^{4 - a} $，则实数 $ a $ 的取值范围是(A)

A.$ (-\infty, 1) $
B.$ (1, +\infty) $
C.$ (3, +\infty) $
D.$ (-\infty, 3) $

答案： 7. A [解析]因为y = ($\frac{1}{2}$)^x在R上单调递减，所以($\frac{1}{2}$)^(2a + 1)＞($\frac{1}{2}$)^(4 - a)等价于2a + 1＜4 - a（当底数大于0且小于1时，指数越大，幂越小），解得a＜1，即实数a的取值范围是(-∞,1)。故选A。

8. [2022·浙江杭州学军中学高一期末]函数 $ f(x) = (\frac{1}{2})^{\sqrt{-x^{2} + x + 1}} $ 的单调递增区间为(C)

A.$ (-\infty, \frac{1}{2}] $
B.$ (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2}) $
C.$ [\frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}] $
D.$ [\frac{1}{2}, +\infty) $

答案： 8. C 思维路径：求出函数f(x)的定义域→讨论u = $\sqrt{-x^2 + x + 1}$的单调区间→根据指数函数与复合函数的单调性求结果。
[解析]由题意可得 - x^2 + x + 1≥0，解得$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，即函数f(x)的定义域为[$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$,$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$]（讨论函数的单调性时，注意定义域先行原则）。令u = $\sqrt{-x^2 + x + 1}$，则函数u = $\sqrt{-x^2 + x + 1}$在[$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$,$\frac{1}{2}$]上单调递增，在[$\frac{1}{2}$,$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$]上单调递减。而函数y = ($\frac{1}{2}$)^u在R上单调递减。因此由复合函数单调性知，f(x)的单调增区间为[$\frac{1}{2}$,$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$]。故选C。

9. [2022·山西朔州李林中学高一月考]已知指数函数 $ f(x) = (2a^{2} - 5a + 3)a^{x} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，则实数 $ a $ 的值为(D)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ 1 $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ 2 $

答案： 9. D [解析]由题意可得2a^2 - 5a + 3 = 1，解得a = 2或a = $\frac{1}{2}$。当a = 2时，f(x)=2^x在(0,+∞)上单调递增，符合题意；当a = $\frac{1}{2}$时，f(x)=($\frac{1}{2}$)^x在(0,+∞)上单调递减，不符合题意。因此a = 2，故选D。