《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2022·陕西西安八所重点中学高三联考]数据 -2,0,1,2,5,6 的方差是(B)

A.46
B.$\frac{23}{3}$
C.$\frac{\sqrt{69}}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 1.B 【解析】由题意，得这组数据的平均数为$\frac{1}{6}(-2 + 0 + 1 + 2 + 5 + 6)=2$，则这组数据的方差为$\frac{1}{6}[(-2 - 2)^{2}+(0 - 2)^{2}+(1 - 2)^{2}+(2 - 2)^{2}+(5 - 2)^{2}+(6 - 2)^{2}]=\frac{23}{3}$。故选B。

2. 已知样本 9,x,10,y,11 的平均数是 10,标准差是 2,则 xy 的值为(C)

A.96
B.97
C.91
D.87

答案： 2.C 【解析】依题意得$\frac{1}{5}(9 + 10 + 11 + x + y)=10$，则$x + y = 20$①。$2^{2}=\frac{1}{5}[(9 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}+(11 - 10)^{2}+(x - 10)^{2}+(y - 10)^{2}]=\frac{1}{5}[2 + (x - 10)^{2}+(y - 10)^{2}]$，则$(x - 10)^{2}+(y - 10)^{2}=18$②。由①②得$x^{2}+y^{2}=218$，所以$xy = \frac{1}{2}[(x + y)^{2}-(x^{2}+y^{2})]=\frac{1}{2}(400 - 218)=91$。故选C。

3. 为了考查某种小麦的长势,从中抽取 10 株麦苗,测得苗高(单位:cm)为 16,9,14,11,12,10,16,8,17,19,则这组数据的极差是11。

答案： 3.11 【解析】苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为$19 - 8 = 11$。

4. [2022·浙江宁波高一期末]若把数据 $x_1,x_2,x_3,x_4,·s,x_{2022}$,改变为 $x_1 - 2,x_2 - 2,x_3 - 2,x_4 - 2,·s,x_{2022} - 2$,则它们的(B)

A.平均数与方差均不改变
B.平均数改变,方差保持不变
C.平均数不变,方差改变
D.平均数与方差均改变

答案： 4.B 【解析】数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},·s,x_{2022}$的平均数$\overline{x}=\frac{1}{2022}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+·s + x_{2022})$，数据$x_{1}-2,x_{2}-2,x_{3}-2,x_{4}-2,·s,x_{2022}-2$的平均数$\overline{x}'=\frac{1}{2022}(x_{1}-2 + x_{2}-2 + x_{3}-2 + x_{4}-2+·s + x_{2022}-2)=\frac{1}{2022}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+·s + x_{2022})-2=\overline{x}-2$，所以平均数发生了变化；数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},·s,x_{2022}$的方差$s^{2}=\frac{1}{2022}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}+(x_{4}-\overline{x})^{2}+·s +(x_{2022}-\overline{x})^{2}]$，数据$x_{1}-2,x_{2}-2,x_{3}-2,x_{4}-2,·s,x_{2022}-2$的方差$s'^{2}=\frac{1}{2022}[(x_{1}-2-\overline{x}+2)^{2}+(x_{2}-2-\overline{x}+2)^{2}+(x_{3}-2-\overline{x}+2)^{2}+(x_{4}-2-\overline{x}+2)^{2}+·s +(x_{2022}-2-\overline{x}+2)^{2}]=s^{2}$，所以方差没有发生变化。故选B。

5. [2022·江苏宿迁高一期末]已知数据 $x_1,x_2,·s,x_{10}$ 的极差为 6,方差为 2,则数据 $2x_1 + 1,2x_2 + 1,·s,2x_{10} + 1$ 的极差和方差分别为(A)

A.12,8
B.12,4
C.6,8
D.6,4

答案： 5.A 【解析】不妨设$x_{1}\leq x_{2}\leq·s\leq x_{10}$，则$x_{10}-x_{1}=6$，且$2x_{1}+1\leq 2x_{2}+1\leq·s\leq 2x_{10}+1$，$(2x_{10}+1)-(2x_{1}+1)=12$，所以数据$2x_{1}+1,2x_{2}+1,·s,2x_{10}+1$的极差为12。数据$2x_{1}+1,2x_{2}+1,·s,2x_{10}+1$的方差$s^{2}=\frac{1}{10}\{[(2x_{1}+1)-(2\overline{x}+1)]^{2}+[(2x_{2}+1)-(2\overline{x}+1)]^{2}+·s +[(2x_{10}+1)-(2\overline{x}+1)]^{2}\}=\frac{1}{10}\{4[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+·s +(x_{10}-\overline{x})^{2}]\}=8$。故选A。

6. 若数据 $x_1 + m,x_2 + m,·s,x_n + m$ 的平均数是 5,方差是 4,数据 $3x_1 + 1,3x_2 + 1,·s,3x_n + 1$ 的平均数是 10,标准差是 s,则下列结论正确的是(A)

A.$m = 2,s = 6$
B.$m = 2,s = 36$
C.$m = 4,s = 6$
D.$m = 4,s = 36$

答案： 6.A 【解析】设数据$x_{1},x_{2},·s,x_{n}$的平均数为$\overline{x}$，标准差为$\sigma$，则由$\frac{1}{n}[(3x_{1}+1)+(3x_{2}+1)+(3x_{3}+1)+·s +(3x_{n}+1)]=\frac{3}{n}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+·s + x_{n})+1 = 3\overline{x}+1 = 10$，解得$\overline{x}=3$；由$\frac{1}{n}[(x_{1}+m)+(x_{2}+m)+·s +(x_{n}+m)]=\frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+·s + x_{n})+m=\overline{x}+m = 5$，解得$m = 2$。所以方差$\frac{1}{n}\{[(x_{1}+m)-(\overline{x}+m)]^{2}+[(x_{2}+m)-(\overline{x}+m)]^{2}+·s +[(x_{n}+m)-(\overline{x}+m)]^{2}\}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+·s +(x_{n}-\overline{x})^{2}]=\sigma^{2}=4$，$s^{2}=\frac{1}{n}\{[(3x_{1}+1)-(3\overline{x}+1)]^{2}+[(3x_{2}+1)-(3\overline{x}+1)]^{2}+·s +[(3x_{n}+1)-(3\overline{x}+1)]^{2}\}=\frac{9}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+·s +(x_{n}-\overline{x})^{2}]=9\sigma^{2}=36$，解得$s = 6$。故选A。

7. [2022·山西太原高一期末]下列特征量中,刻画一组数据集中趋势的是(A)

A.平均数
B.频数
C.方差
D.极差

答案： 7.A 【解析】方差是衡量一组数据偏离其平均数的程度的量，极差是最大值和最小值的差，频数是对数据次数的统计，平均数是描述一组数据的集中趋势的量。故选A。

8. 数学考试中,甲、乙两校的成绩平均分相同,但甲校的成绩比乙校整齐,若甲、乙两校的成绩方差分别为 $s_1^2$ 和 $s_2^2$,则(C)

A.$s_1^2 ＞ s_2^2$
B.$s_1^2 = s_2^2$
C.$s_1^2 ＜ s_2^2$
D.无法确定

答案： 8.C 破题关键 方差刻画数据的离散程度，方差越小，数据越集中；方差越大，数据越分散。
【解析】因为甲、乙两校的成绩平均分相同，但甲校的成绩比乙校整齐，说明乙校的成绩波动性比较大，所以$s_{1}^{2}\lt s_{2}^{2}$。故选C。

9. 某赛季甲、乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：
甲:21,22,23,25,28,29,30,30；
乙:14,16,23,26,28,30,33,38.
则下列描述合理的是(C)

A.甲运动员每场比赛得分的平均值大
B.乙运动员每场比赛得分的平均值大
C.甲运动员比赛成绩比较稳定
D.乙运动员比赛成绩比较稳定

答案： 9.C 【解析】甲运动员的平均值为$\frac{21 + 22 + 23 + 25 + 28 + 29 + 30 + 30}{8}=26$，乙运动员的平均值为$\frac{14 + 16 + 23 + 26 + 28 + 30 + 33 + 38}{8}=26$，则二者的平均值相同。甲运动员的方差$s_{1}^{2}=\frac{1}{8}[(21 - 26)^{2}+(22 - 26)^{2}+(23 - 26)^{2}+(25 - 26)^{2}+(28 - 26)^{2}+(29 - 26)^{2}+(30 - 26)^{2}+(30 - 26)^{2}]=12$，乙运动员的方差$s_{2}^{2}=\frac{1}{8}[(14 - 26)^{2}+(16 - 26)^{2}+(23 - 26)^{2}+(26 - 26)^{2}+(28 - 26)^{2}+(30 - 26)^{2}+(33 - 26)^{2}+(38 - 26)^{2}]=58.25$，则甲运动员的方差小于乙运动员的方差，所以甲运动员的比赛成绩稳定。故选C。