《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

6. (多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$,从乙袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{2}$,从两袋中各摸出一个球,下列结论中正确的是 (AB)

A.2 个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$
B.2 个球中恰有 1 个红球的概率为 $\frac{1}{2}$
C.至少有 1 个红球的概率为 $\frac{1}{3}$
D.2 个球不都是红球的概率为 $\frac{1}{3}$

答案： 6. AB 【解析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为$A$，从乙袋中摸出一个红球的事件为$B$，则$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{2}$，$A$，$B$相互独立，2个球都是红球的事件为$AB$，则有$P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{6}$，故A正确；2个球中恰有1个红球的事件为$A\overline{B}+\overline{A}B$，则$P(A\overline{B}+\overline{A}B)=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=\frac{1}{3}×\left(1 - \frac{1}{2}\right)+\left(1 - \frac{1}{3}\right)×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，故B正确；至少有1个红球的事件的对立事件是$\overline{AB}$，则$P(\overline{AB})=P(\overline{A})P(\overline{B})=\left(1 - \frac{1}{3}\right)×\left(1 - \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}$，所以至少有1个红球的概率为$1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，故C不正确；2个球不都是红球是事件$AB$的对立事件，其概率为$1 - P(AB)=\frac{5}{6}$，故D不正确. 选AB.

7. (多选)甲、乙两队进行排球比赛,采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中,甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$,乙队获胜的概率为 $\frac{1}{3}$.若前两局中乙队以 $2:0$ 领先,则下列结论中正确的是 (AB)

A.甲队获胜的概率为 $\frac{8}{27}$
B.乙队以 $3:0$ 获胜的概率为 $\frac{1}{3}$
C.乙队以 $3:1$ 获胜的概率为 $\frac{1}{9}$
D.乙队以 $3:2$ 获胜的概率为 $\frac{4}{9}$

答案： 7. AB 【解析】在乙队以$2:0$领先的前提下，若甲队获胜，则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为$\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}$，故A正确；乙队以$3:0$获胜，即第三局乙获胜，概率为$\frac{1}{3}$，故B正确；乙队以$3:1$获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，故C错误；若乙队以$3:2$获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以$3:2$获胜的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，故D错误. 选AB.
方法总结 通过逻辑推理判断出各事件发生的情形并求出其概率.

8. 给出下列各对事件,其中是相互独立事件的为①③(填序号).
①甲组有 3 名男生,2 名女生;乙组有 2 名男生,3 名女生.现从甲、乙两组中各选 1 名参加演讲比赛,“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”;
②不透明袋子内装有 4 个白球和 2 个黄球,球除颜色外没有其他差异,“从 6 个球中任意取出 1 个,取出的是白球”与“再从剩下的 5 个球中任意取出 1 个,取出的是白球”;
③掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”.

答案： 8. ①③ 【解析】①“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件. ②“从6个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为$\frac{2}{3}$，若这一事件发生了，则“再从剩下的5个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为$\frac{3}{5}$，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为$\frac{4}{5}$. 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件. ③记事件$A$表示“出现偶数点”，事件$B$表示“出现3点或6点”，则$A = \{2,4,6\}$，$B = \{3,6\}$，$AB = \{6\}$，所以$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$P(AB)=\frac{1}{6}$，所以$P(AB)=P(A)P(B)$，所以事件$A$与$B$相互独立. 故答案为①③.
方法总结 从概念角度分析，相互独立事件本质上是一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有产生影响. 从公式角度分析，若事件$A$与事件$B$相互独立，则两事件要同时发生需满足$P(AB)=P(A)P(B)$.

9. 已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{4}{5}$,甲和乙是否命中目标互不影响,且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是$\boldsymbol{\frac{19}{400}}$.

答案： 9. $\frac{19}{400}$ 思路路径 理解甲、乙轮流射击是相互独立事件模型→通过逻辑推理推出该事件发生需满足的条件→计算该事件发生的概率.
【解析】设事件$A$表示“甲射击一次，命中目标”，事件$B$表示“乙射击一次，命中目标”，则$A$，$B$相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中（此时甲胜出），此时的概率为$P(\overline{A}\overline{B}A)=\left(1 - \frac{3}{4}\right)×\left(1 - \frac{4}{5}\right)×\frac{3}{4}=\frac{3}{80}$；②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中（此时乙胜出），此时的概率为$P(\overline{A}\overline{B}\overline{A}B)=\left(1 - \frac{3}{4}\right)×\left(1 - \frac{4}{5}\right)×\left(1 - \frac{3}{4}\right)×\frac{4}{5}=\frac{1}{100}$. 故停止射击时，甲射击了两次的概率是$\frac{3}{80}+\frac{1}{100}=\frac{19}{400}$.

10. 某人有 5 把钥匙,其中 2 把能打开门,现随机地取 1 把钥匙试着开门,不能开门就扔掉,问:第三次才打开门的概率是多少?如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是多少?设计一个试验,随机模拟估计上述概率.

答案： 10. 思维路径 一把钥匙开门的可能情形→多次试开，不能开的扔掉的情形→多次试开，不能开的不扔掉的情形.
【解】现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，第三次才打开门的概率是$\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{5}$；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{18}{125}$.
用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门.
(1)三个一组（每组数字不重复），统计总组数$N$及前两个大于2，第三个是1或2的组数$N_{1}$，则$\frac{N_{1}}{N}$为不能打开门就扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.
(2)三个一组，统计总组数$M$及前两个大于2，第三个为1或2的组数$M_{1}$，则$\frac{M_{1}}{M}$为试过的钥匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.