《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

15. 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图，图中从左到右各小长方形的面积之比为 2:4:17:15:9:3，第二小组的频数为 12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在 110 以上（含 110 次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三小组的频数是多少？

答案： 15.破题关键▶频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，所以面积之比即为频率之比。
【解】
(1)第二小组的频率为 4 / (2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3) = 0.08，所以样本容量为 12 / 0.08 = 150。
(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为(17 + 15 + 9 + 3) / (2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3)×100% = 88%。
(3)由
(2)知达标率为 88%，则不达标的学生频率为 1 - 88% = 12%。
由
(1)知样本容量为 150，所以样本中不达标的学生人数为 150×12% = 18。
(4)第三小组的频率为 17 / (2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3) = 0.34。
又因为样本容量为 150，所以第三小组的频数为 150×0.34 = 51。

16. [2022·广东广州越秀区期末]为了庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取 100 名，将其成绩整理后分为 6 组，画出频率分布直方图如图（最低 90 分，最高 150 分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的 2 倍.

(1)求第一组、第二组的频率，并补全频率分布直方图；
(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即 75%分位数为“良好”以上等级，根据频率分布直方图，估计“良好”以上等级的成绩范围（保留 1 位小数）；
(3)现知道频率分布直方图中成绩在[130,140)内的平均数为 136，方差为 8，在[140,150]内的平均数为 144，方差为 4，求成绩在[130,150]内的平均数和方差.

答案：
16.【解】
(1)设第一组的频率为 x，则第二组的频率为 2x，所以 x + 2x + (0.034 + 0.030 + 0.018 + 0.006)×10 = 1，解得 x = 0.04，所以第一组的频率为 0.04，第二组的频率为 0.08。
补全的频率分布直方图，如图。

(2)0.04 + 0.08 + 0.34 + 0.3 = 0.76 ＞ 0.75。
设上四分位数为 x，则 x ∈ [120,130)，所以 0.04 + 0.08 + 0.34 + 0.03(x - 120) = 0.75，解得 x ≈ 129.7。
所以“良好”以上等级的成绩范围为[129.7,150]。
(3)由频率分布直方图可知成绩在[130,140)中的有 0.18×100 = 18(人)，设为$x_1, x_2, x_3, ·s, x_{18}$，则$x_1 + x_2 + x_3 + ·s + x_{18} = 136×18$，$\frac{1}{18}[(x_1 - 136)^2 + (x_2 - 136)^2 + ·s + (x_{18} - 136)^2] = 8$，所以$x_1^2 + x_2^2 + ·s + x_{18}^2 = 8×18 + 18×136^2$。
成绩在[140,150]中的有 0.06×100 = 6(人)，设为$y_1, y_2, ·s, y_6$，则$y_1 + y_2 + ·s + y_6 = 144×6$，$\frac{1}{6}[(y_1 - 144)^2 + (y_2 - 144)^2 + ·s + (y_6 - 144)^2] = 4$，所以$y_1^2 + y_2^2 + ·s + y_6^2 = 4×6 + 6×144^2$。
所以成绩在[130,150]内的平均数为 136×$\frac{3}{4}$ + 144×$\frac{1}{4}$ = 138。
所以$(x_1 - 138)^2 + (x_2 - 138)^2 + ·s + (x_{18} - 138)^2 = x_1^2 + x_2^2 + ·s + x_{18}^2 - 2×138×18×136 + 18×138^2 = 8×18 + 18×136^2 - 2×138×18×136 + 18×138^2 = 216$，
$(y_1 - 138)^2 + (y_2 - 138)^2 + ·s + (y_6 - 138)^2 = y_1^2 + y_2^2 + ·s + y_6^2 - 2×138×6×144 + 6×138^2 = 4×6 + 6×144^2 - 2×138×6×144 + 6×138^2 = 240$，
所以方差为$\frac{1}{24}[(x_1 - 138)^2 + (x_2 - 138)^2 + ·s + (x_{18} - 138)^2 + (y_1 - 138)^2 + (y_2 - 138)^2 + ·s + (y_6 - 138)^2] = \frac{1}{24}×(216 + 240) = 19$。