《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2022·上海静安高三一模]方程 $3^{\log_{2}x}=\frac{1}{9}$ 的解是(A)

A.$x=\frac{1}{4}$
B.$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$x=\sqrt{2}$
D.$x=4$

答案： 1.A 【解析】$\because 3^{\log_{2}x}=3^{-2},\therefore \log_{2}x=-2,\therefore x = 2^{-2}=\frac{1}{4}$. 故选 A.

2. 若 $\log_{2}[\log_{0.5}(\log_{2}x)] = 0$，则 $x$ 的值是(A)

A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$

答案： 2.A 【解析】因为$\log_{2}[\log_{0.5}(\log_{2}x)] = 0$,所以$\log_{0.5}(\log_{2}x)=1$,所以$\log_{2}x = 0.5$,所以$x=\sqrt{2}$. 故选 A.

3. (多选)[2022·江西吉安井冈山中学高一阶段测试]下列指数式与对数式互化正确的有(ACD)

A.$e^{0}=1$ 与 $\ln 1 = 0$
B.$\log_{3}9 = 2$ 与 $9^{\frac{1}{2}} = 3$
C.$8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$ 与 $\log_{8}\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}$
D.$\log_{7}7 = 1$ 与 $7^{1} = 7$

答案： 3.ACD 【解析】$e^{0}=1$可化为$0=\log_{e}1=\ln 1$,故 A 正确;$\log_{3}9 = 2$可化为$3^{2}=9$,故 B 错误;$8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$可化为$\log_{8}\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}$,故 C 正确;$\log_{7}7 = 1$可化为$7^{1}=7$,故 D 正确. 选 ACD.

4. 若 $\log_{(1 + k)}(1 - k)$ 有意义，则实数 $k$ 的取值范围是$(-1,0)\cup(0,1)$。

答案： 4.$(-1,0)\cup(0,1)$ 【解析】若$\log_{(1 + k)}(1 - k)$有意义,则满足$\begin{cases}1 + k＞0,\\1 + k\neq1,\\1 - k＞0\end{cases}$(若对数有意义,则必须满足底数大于 0 且不等于 1,真数大于 0),解得$k\in(-1,0)\cup(0,1)$.

5. 若 $a = \log_{\frac{1}{2}}3$，则 $4^{a} + 2^{-a}=$$\frac{28}{9}$。

答案： 5.$\frac{28}{9}$ 【解析】由$a=\log_{\frac{1}{2}}3$,可得$\left(\frac{1}{2}\right)^{a}=3$,即$2^{a}=\frac{1}{3}$,$4^{a}+2^{-a}=(2^{a})^{2}+(2^{a})^{-1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=\frac{28}{9}$.

6. 若 $a\gt0$，且 $a\neq1$，$x\in R$，$y\in R$，且 $xy\gt0$，则下列各式不恒成立的是(B)
① $\log_{a}x^{2} = 2\log_{a}x$；② $\log_{a}x^{2} = 2\log_{a}|x|$；③ $\log_{a}(xy)=\log_{a}x + \log_{a}y$；④ $\log_{a}(xy)=\log_{a}|x| + \log_{a}|y|$。

A.②④
B.①③
C.①④
D.②③

答案： 6.B 【解析】对于①,若$x＜0,y＜0$,满足题干条件,但是等式不成立;对于③,若$x＜0,y＜0$,则式子不成立;对于②$\log_{a}x^{2}=2\log_{a}|x|$,④$\log_{a}(xy)=\log_{a}|x|+\log_{a}|y|$,根据对数运算法则得这两个都正确. 故选 B.

7. 若 $2^{m} = 3$，则 $\log_{3}12=$(C)

A. $\frac{1 + 2m}{2m}$
B. $\frac{2m}{1 + 2m}$
C. $\frac{2 + m}{m}$
D. $\frac{m}{2 + m}$

答案： 7.C 【解析】由$2^{m}=3$得$m=\log_{2}3$. 所以$\log_{3}12=\log_{3}(3×4)=1 + 2\log_{3}2=1+\frac{2}{\log_{2}3}=1+\frac{2}{m}=\frac{2 + m}{m}$. 故选 C.

8. (多选)若 $10^{a} = 4$，$10^{b} = 25$，则(AD)

A.$a + b = 2$
B.$b - a = 1$
C.$ab = 4$
D.$\frac{a}{b}=\frac{\lg 2}{\lg 5}$

答案： 8.AD 【解析】$\because 10^{a}=4,10^{b}=25,\therefore a=\lg 4,b=\lg 25$.$\therefore a + b=\lg 4+\lg 25=\lg 100 = 2$,故 A 正确;$b - a=\lg 25-\lg 4=\lg\frac{25}{4}$,故 B 错误;$ab=\lg 4×\lg 25 = 2\lg 2×2\lg 5 = 4\lg 2×\lg 5$,故 C 错误;$\frac{a}{b}=\frac{\lg 4}{\lg 25}=\frac{\lg 2}{\lg 5}$,故 D 正确. 选 AD.

9. 设 $a$，$b$，$c$ 为正数，且满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
(1) $\log_{2}(1 + \frac{b + c}{a}) + \log_{2}(1 + \frac{a - c}{b})=$1；
(2) 若 $\log_{4}(1 + \frac{b + c}{a}) = 1$，$\log_{8}(a + b - c)=\frac{2}{3}$，则 $\frac{b + c}{a}=$3。

答案： 9.
(1)1
(2)3 【解析】
(1)原式$=\log_{2}\left[\left(1+\frac{b + c}{a}\right)\left(1+\frac{a - c}{b}\right)\right]=\log_{2}\frac{(a + b)^{2}-c^{2}}{ab}=\log_{2}\frac{(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})}{ab}=\log_{2}2 = 1$.
(2)由$\log_{4}\left(1+\frac{b + c}{a}\right)=1$,得$-3a + b + c = 0$. 由$\log_{8}(a + b - c)=\frac{2}{3}$,得$a + b - c = 4$. 又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,且$a,b,c$为正数,联立得方程组$\begin{cases}-3a + b + c = 0,\\a + b - c = 4,\\a^{2}+b^{2}=c^{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 6,\\b = 8,\\c = 10.\end{cases}$ 所以$\frac{b + c}{a}=\frac{8 + 10}{6}=3$.