《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

7. 现有按复利计算利息的一种储蓄, 本金为 $ a $ 元, 每期利率为 $ r $, 设本利和为 $ y $, 存期为 $ x $, 写出本利和 $ y $ 随存期 $ x $ 变化的函数关系式. 如果存入本金 $ 1000 $ 元, 每期利率为 $ 2.25\% $, 试计算 $ 5 $ 期后的本利和是多少 (精确到 $ 1 $ 元).

答案： 【解】由题意可得$1$年期到期的本利和为$y = a(1 + r)$，$2$年期到期的本利和为$y = a(1 + r)^2$，$3$年期到期的本利和为$y = a(1 + r)^3$，$x$年期到期的本利和为$y = a(1 + r)^x(x \in \mathbf{N}^*)$。将$a = 1000$，$r = 2.25\%$，$x = 5$代入$y = a(1 + r)^x(x \in \mathbf{N}^*)$，得$y = 1000 × (1 + 2.25\%)^5 = 1000 × 1.0225^5 \approx 1118$。故本利和$y$随存期$x$变化的函数关系式为$y = a(1 + r)^x(x \in \mathbf{N}^*)$，$5$期后的本利和约为$1118$元。

8. 某医药研究所开发一种新药, 如果成年人按规定的剂量服用, 据监测, 服药后每毫升血液中的含药量 $ y $ ($ mg $) 与时间 $ t $ ($ h $) 之间近似满足如图的曲线的解析式.
(1) 写出服药后 $ y $ ($ mg $) 与时间 $ t $ ($ h $) 之间的函数解析式;
(2) 进一步测定, 每毫升血液中含药量不少于 $ 0.25 mg $ 时, 药物对治疗疾病有效, 求服药一次治疗疾病的有效时间.
]

答案： 【解】
(1) 由题图知，当$0 \leq t \leq 1$时，函数的解析式为$y = kt$。将点$(1, 4)$的坐标代入，得$k = 4$，所以$y = 4t$。当$t ＞ 1$时，函数的解析式为$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{t - a}$。将点$(3, 1)$的坐标代入，得$a = 3$，所以$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{t - 3}$。综上所述，所求函数解析式为$y = \begin{cases} 4t, & 0 \leq t \leq 1 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{t - 3}, & t ＞ 1 \end{cases}$。
(2) 由$f(t) \geq 0.25 = \frac{1}{4}$，得$\begin{cases} 4t \geq \frac{1}{4}, & 0 \leq t \leq 1 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^{t - 3} \geq \frac{1}{4}, & t ＞ 1 \end{cases}$，解得$\frac{1}{16} \leq t \leq 5$。所以服药一次治疗疾病的有效时间为$5 - \frac{1}{16} = 4\frac{15}{16}(h)$。

9. [2022·四川乐山高一期末]当前, 新冠肺炎疫情在全球蔓延, 多种因素导致周边国家疫情输入我国风险大大增加. 现有一组境外输入病例数据如下表格所示.

则 $ x,y $ 的函数关系与下列哪类函数最接近 (D)

A.$ y = ax + b $
B.$ y = \frac{a}{x} + b $
C.$ y = a^x + b $
D.$ y = \log_a x + b $

答案： D 【解析】由题表可知每月人数增长分别为$62$，$39$，$37$，$26$，增长速度在逐月减缓，符合对数型函数的特点。故选 D。

10. 2019 年 7 月, 中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录, 标志着中华五千年文明史得到国际社会认可. 考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律. 已知样本中碳 - 14 的质量 $ N $ 随时间 $ t $ (单位: 年) 的衰变规律满足 $ N = N_0· 2^{-\frac{t}{5730}} $ ($ N_0 $ 表示碳 - 14 原有的质量). 经过测定, 良渚古城遗址文物样本中碳 - 14 的质量是原来的 $ \frac{1}{2} $ 至 $ \frac{3}{5} $, 据此推测良渚古城存在的时期距今约多少年到 $ 5730 $ 年之间? (参考数据: $ \log_2 3 \approx 1.6,\log_2 5 \approx 2.3 $) (A)

A.$ 4011 $
B.$ 3438 $
C.$ 2865 $
D.$ 2292 $

答案： A 【解析】因为碳 - 14 的质量是原来的$\frac{1}{2}$至$\frac{3}{5}$，所以$\frac{1}{2} \leq 2^{\frac{-t}{5730}} \leq \frac{3}{5}$，两边同时取以$2$为底的对数得$-1 \leq \log_2 2^{\frac{-t}{5730}} \leq \log_2 \frac{3}{5}$，即$-1 \leq \frac{-t}{5730} \leq (\log_2 3 - \log_2 5) \approx -0.7$，解得$4011 \leq t \leq 5730$，因此推测良渚古城存在的时期距今约在$4011$年到$5730$年之间。故选 A。

11. [2022·湖南郴州高一期末]为了提高员工的工作积极性, 某外贸公司想修订新的“员工激励计划”, 新的计划有以下几点需求: ① 奖金随着销售业绩的提高而提高; ② 销售业绩增加时, 奖金增加的幅度逐渐上升; ③ 必须和原来的计划接轨: 销售业绩在 $ 10 $ 万元或以内时奖金为 $ 0 $, 超过 $ 10 $ 万元则开始计算奖金, 销售业绩为 $ 20 $ 万元时奖金为 $ 1000 $ 元. 设业绩为 $ x $ ($ 10 \leq x \leq 300 $) 万元时奖金为 $ f(x) $ 千元, 下面给出三个函数模型: ① $ f(x) = k· x + b $; ② $ f(x) = k· \log_2 x + b $; ③ $ f(x) = k· x^2 + b $. 其中 $ k ＞ 0,b \in \mathbf{R} $. 请选择合适的函数模型, 并计算: 业绩为 $ 100 $ 万元时奖金为33000元.

答案： 33000 【解析】根据题意，当$k ＞ 0$，$b \in \mathbf{R}$时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“$f(x) = k · x^2 + b$”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故选择模型$f(x) = k · x^2 + b$。由题意可得$\begin{cases} 100k + b = 0 \\ 400k + b = 1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = \frac{1}{300} \\ b = -\frac{1}{3} \end{cases}$。所以$f(x) = \frac{1}{300}x^2 - \frac{1}{3}$。则当$x = 100$时，$f(x) = \frac{1}{300} × 100^2 - \frac{1}{3} = 33$。所以奖金为$33000$元。