《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

29. 已知 $ y = a^{x} (a ＞ 1) $ 在 $ [1, 2] $ 上的最大值与最小值之和为 $ 20 $。
(1) 求 $ a $ 的值。
(2) 若 $ f(x) = \frac{a^{x}}{a^{x} + 2} $，求证 $ f(x) + f(1 - x) $ 为定值。

答案： 29.
(1) [解]
(1)
∵a＞1，
∴y = a^x为单调增函数，
∴a^2 + a = 20，解得a = 4，或a = -5。
又
∵a＞1，
∴a = 4。
(2) [证明]由
(1)知f(x)=$\frac{4^x}{4^x + 2}$。
∴f(1 - x)=$\frac{4^(1 - x)}{4^(1 - x) + 2}$=$\frac{\frac{4}{4^x}}{\frac{4}{4^x} + 2}$=$\frac{4}{4 + 2×4^x}$=$\frac{2}{2 + 4^x}$，
∴f(x)+f(1 - x)=$\frac{4^x}{4^x + 2}$+$\frac{2}{2 + 4^x}$=1，
∴f(x)+f(1 - x)为定值1。

30. [2022·湖北黄石一中高一期中]已知函数 $ f(x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} (a \in \mathbf{R}), g(x) = -x^{2} + 2x + m $。
(1) 若函数 $ f(x) $ 为奇函数，求实数 $ a $ 的值；
(2) 在(1)的条件下，设函数 $ F(x) = f(x) + 2^{x - 2} - \frac{1}{2^{x - 2}} $。若 $ \forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [1, 2] $，使得 $ g(x_{1}) = F(x_{2}) $，求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 30. [解]
(1)
∵f(x)为奇函数，
∴f
(0)=0，即1 + a = 0，
∴a = -1。
(2)由
(1)知f(x)=2^x - $\frac{1}{2^x}$，
∴F(x)=2^x - $\frac{1}{2^x}$ + 2^(x - 2) - $\frac{1}{2^(x - 2)}$=$\frac{5}{4}$(2^x - $\frac{4}{2^x}$)。
令t = 2^x。
∵x2∈[1,2]，
∴t∈[2,4]。
记h(t)=$\frac{5}{4}$(t - $\frac{4}{t}$)，t∈[2,4]，
易知h(t)=$\frac{5}{4}$(t - $\frac{4}{t}$)在[2,4]上单调递增，
故F(x2)∈[0,$\frac{15}{4}$]。
又当x1∈[1,2]时，g(x1)∈[m,m + 1]。
由题意可得$\begin{cases}m≥0\\m + 1≤\frac{15}{4}\end{cases}$，解得0≤m≤$\frac{11}{4}$，
所以实数m的取值范围为[0,$\frac{11}{4}$]。

31. 定义在 $ [-4, 4] $ 上的奇函数 $ f(x) $，已知当 $ x \in [-4, 0] $ 时，$ f(x) = \frac{1}{4^{x}} + \frac{a}{3^{x}} (a \in \mathbf{R}) $。
(1) 求 $ f(x) $ 在 $ (0, 4] $ 上的解析式；
(2) 当 $ x \in [-2, -1] $ 时，不等式 $ f(x) \leq \frac{m}{2^{x}} - \frac{1}{3^{x - 1}} $ 恒成立，求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 31. [解]
(1)
∵f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数，且当x∈[-4,0]时，f(x)=$\frac{1}{4^x}$ + $\frac{a}{3^x}$（a∈R），
∴f
(0)=1 + a = 0，
∴a = -1，
即当x∈[-4,0]时f(x)=$\frac{1}{4^x}$ - $\frac{1}{3^x}$。
设x∈(0,4]，则 - x∈[-4,0)，f(x)= -f(-x)= - ($\frac{1}{4^(-x)}$ - $\frac{1}{3^(-x)}$)=3^x - 4^x。
故当x∈(0,4]时，f(x)=3^x - 4^x。
(2)
∵x∈[-2,-1]，f(x)≤$\frac{m}{2^x}$ - $\frac{1}{3^(x - 1)}$恒成立，
∴$\frac{1}{4^x}$ - $\frac{1}{3^x}$≤$\frac{m}{2^x}$ - $\frac{1}{3^(x - 1)}$在x∈[-2,-1]时恒成立，
即$\frac{1}{4^x}$ + $\frac{2}{3^x}$≤$\frac{m}{2^x}$在x∈[-2,-1]时恒成立。
∵2^x＞0，
∴($\frac{1}{2}$)^x + 2·($\frac{2}{3}$)^x≤m在x∈[-2,-1]时恒成立。
∵g(x)=($\frac{1}{2}$)^x + 2·($\frac{2}{3}$)^x在R上单调递减，
∴x∈[-2,-1]时，g(x)=($\frac{1}{2}$)^x + 2·($\frac{2}{3}$)^x的最大值为g(-2)=($\frac{1}{2}$)^(-2) + 2·($\frac{2}{3}$)^(-2)=$\frac{17}{2}$，
∴m≥$\frac{17}{2}$，
即实数m的取值范围是[$\frac{17}{2}$,+∞)。

32. [2022·山东济南高一期末]已知函数 $ f(x) = 4^{x} - 2^{x + 1} + 4, x \in [-1, 1] $，则函数 $ y = f(x) $ 的值域为(B)

A.$ [3, +\infty) $
B.$ [3, 4] $
C.$ [3, \frac{13}{4}] $
D.$ [\frac{13}{4}, 4] $

答案： 32. B [解析]函数f(x)=(2^x)^2 - 2×2^x + 4，x∈[-1,1]。令2^x = t，则y = t^2 - 2t + 4 = (t - 1)^2 + 3。因为t = 2^x在x∈[-1,1]上单调递增，所以$\frac{1}{2}$≤t≤2。当t = 1时，y取得最小值3，此时x = 0，函数f(x)的最小值为3；当t = 2时，y取得最大值4，此时x = 1，函数f(x)的最大值为4。因此函数y = f(x)的值域为[3,4]。故选B。
易错规避：换元后函数的形式变了，但其实质并没有发生变化，新元必须服从原来的变量，新元的取值范围由原来的变量决定，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果。如本题中变量t的范围就受到了2^x的限制。

33. (多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $ x \in \mathbf{R} $，用 $ [x] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数，则 $ y = [x] $ 称为高斯函数。例如，$ [-3.5] = -4, [2.1] = 2 $。已知函数 $ f(x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} $，函数 $ g(x) = [f(x)] $，以下结论正确的是(ACD)

A.$ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数
B.$ g(x) $ 是偶函数
C.$ f(x) $ 是奇函数
D.$ g(x) $ 的值域是 $ \{-1, 0\} $

答案： 33. ACD [解析]函数f(x)=$\frac{2^x - 1}{2^x + 1}$=1 - $\frac{2}{2^x + 1}$，定义域为R。
∵指数函数y = 2^x在R上是单调递增的且2^x＞0，
∴y = $\frac{2}{2^x + 1}$在R上是单调递减的，$\frac{2}{2^x + 1}$∈(0,2)，
∴f(x)=$\frac{2^x - 1}{2^x + 1}$=1 - $\frac{2}{2^x + 1}$在R上是单调递增的，值域为(-1,1)，故A正确。
当y = f(x)∈(-1,0)时，g(x)=[f(x)]=-1；当y = f(x)∈[0,1)时，g(x)=[f(x)]=0，g(x)的值域是{-1,0}，故D正确。
∵f(-x)=$\frac{2^(-x) - 1}{2^(-x) + 1}$=$\frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}$=-$\frac{2^x - 1}{2^x + 1}$=-f(x)，定义域为R，
∴f(x)是奇函数，故C正确。
∵f
(1)=1 - $\frac{2}{2 + 1}$=$\frac{1}{3}$∈(0,1)，
∴g
(1)=[f
(1)]=0。
∵f(-1)=1 - $\frac{2}{2^(-1) + 1}$=-$\frac{1}{3}$∈(-1,0)，
∴g(-1)=[f(-1)]=-1，
∴g(-1)≠g
(1)，
∴g(x)不可能是偶函数，故B错误。选ACD。
素养解读
| 素养 | 考查途径 |
| --- | --- |
| 数学抽象 | 理解高斯函数的定义，考查数学抽象的核心素养 |
| 逻辑推理 | 由奇偶性定义判断函数f(x)为奇函数，考查逻辑推理的核心素养 |