《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

10. [2022·上海延安中学高一期末]函数 $ y = 2^{x} (x ＜ 3) $ 的值域为(0,8)。

答案： 10. (0,8) [解析]因为y = 2^x在R上单调递增，所以当x＜3时，$0＜f(x)＜2^3 = 8，$所以函数的值域为(0,8)。

11. (多选)对于函数 $ f(x) = a^{x} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $，$ g(x) = ax^{2} - x $，在同一直角坐标系下的图像可能为(AD)

答案： 11. AD [解析]当a＞1时（用假设法来解决这种数形结合的问题是一种很好的方法），y = a^x为增函数，g(x)=ax^2 - x图像的对称轴为x = $\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$（判断出对称轴的取值范围是求解问题的关键），故B错误，A正确；当0＜a＜1时，y = a^x为减函数，g(x)=ax^2 - x图像的对称轴为x = $\frac{1}{2a}$＞$\frac{1}{2}$，故C错误，D正确。选AD。

12. (多选)若 $ f(x) = 3^{x} + 1 $，则下列结论正确的是(AB)

A.$ f(x) $ 在 $ [-1, 1] $ 上单调递增
B.$ y = 3^{x} + 1 $ 与 $ y = (\frac{1}{3})^{x} + 1 $ 的图像关于 $ y $ 轴对称
C.$ f(x) $ 的图像过点 $ (0, 1) $
D.$ f(x) $ 的值域为 $ [1, +\infty) $

答案： 12. AB [解析]f(x)=3^x + 1在R上单调递增，故f(x)在[-1,1]上单调递增，故A正确；y = 3^x + 1与y = ($\frac{1}{3}$)^x + 1的图像关于y轴对称，故B正确；因为f
(0)=2，所以函数f(x)的图像过点(0,2)，故C错误；因为3^x＞0，所以f(x)＞1，故D错误。选AB。

13. [2022·广东普宁华侨中学高一月考]已知函数 $ f(x) = |2^{x} - 1| $，若 $ f(a) = f(b) $，$ a \neq b $，则 $ 2^{a} + 2^{b} = $2。

答案： 13. 2 [解析]因为f(a)=f(b)，所以|2^a - 1|=|2^b - 1|。又因为a≠b，所以2^a≠2^b，所以1 - 2^a = 2^b - 1，所以2^a + 2^b = 2。

14. [2022·重庆高一联考]已知函数 $ f(x) = a^{x - \frac{1}{2}} $ 的图像经过点 $ (1, \frac{\sqrt{2}}{2}) $，其中 $ a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 $。
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 求函数 $ y = f(x) (0 \leq x \leq 1) $ 的值域。

答案： 14. [解]
(1)因为函数f(x)=a^(x - $\frac{1}{2}$)的图像经过点(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)，所以a^(1 - $\frac{1}{2}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a^($\frac{1}{2}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a = $\frac{1}{2}$。
(2)由
(1)可知a = $\frac{1}{2}$，则f(x)=($\frac{1}{2}$)^(x - $\frac{1}{2}$)。
根据指数函数的性质，可得函数f(x)=($\frac{1}{2}$)^(x - $\frac{1}{2}$)在[0,1]上单调递减。因为f
(0)=($\frac{1}{2}$)^(-$\frac{1}{2}$)=$\sqrt{2}$，f
(1)=($\frac{1}{2}$)^($\frac{1}{2}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以函数f(x)的值域为[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]。

15. 函数 $ f(x) = (\frac{1}{2})^{x^{2} - 6x + 17} $ 的值域为(0,$\frac{1}{256}$]。

答案： 15. (0,$\frac{1}{256}$] [解析]由定义域的要求可知原函数的定义域为R。设u = x^2 - 6x + 17，则原函数可视为y = ($\frac{1}{2}$)^u及u = x^2 - 6x + 17的复合函数。因为u = x^2 - 6x + 17 = (x - 3)^2 + 8≥8，所以0＜($\frac{1}{2}$)^u≤($\frac{1}{2}$)^8 = $\frac{1}{256}$，所以原函数的值域为(0,$\frac{1}{256}$]。
易错规避：求与指数函数有关的函数的值域，既要考虑其他函数及相关条件的限制范围，又要充分考虑指数函数的值域{y|y = a^x} = {y|y＞0}（a＞0，a≠1）。

16. 已知函数 $ y = a^{x} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 在区间 $ [1, 2] $ 上的最大值与最小值的差为 $ 6 $，则实数 $ a = $3。

答案： 16. 3 [解析]当0＜a＜1时，函数y = a^x在[1,2]上单调递减，由题意可得$a - a^2 = 6，$即$a^2 - a + 6 = 0。$因为△ = 1 - 24＜0，所以方程$a^2 - a + 6 = 0$无解；当a＞1时，函数y = a^x在[1,2]上单调递增，由题意可得$a^2 - a = 6，$即$a^2 - a - 6 = 0，$解得a = 3或a = -2(舍去)。综上可得，a = 3。
易错规避：指数函数的定义中的底数a满足a＞0，且a≠1这个隐含条件，在解题过程中一定要注意，特别是遇到要利用指数函数的单调性时，通常要分0＜a＜1，a＞1两种情况讨论，分析函数y = a^x在给定区间上的单调性。

17. [2022·上海虹口高一期末]函数 $ y = x(2^{x} - 2^{-x}) $ 的图像关于(B)

A.$ x $ 轴对称
B.$ y $ 轴对称
C.原点对称
D.直线 $ y = x $ 对称

答案： 17. B [解析]因为函数y = x(2^x - 2^(-x))的定义域为R，且f(-x)= -x(2^(-x) - 2^x)=x(2^x - 2^(-x))=f(x)，所以y = x(2^x - 2^(-x))为偶函数，函数f = x(2^x - 2^(-x))的图像关于y轴对称。故选B。

18. 已知 $ A(x_{1}, f(x_{1})), B(x_{2}, f(x_{2})) $ 两点在函数 $ f(x) = a^{x} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 的图像上，那么下列关系式一定成立的是(C)

A.$ (x_{1} - x_{2})[f(x_{1}) - f(x_{2})] ＞ 0 $
B.$ (x_{1} - x_{2})[f(x_{1}) - f(x_{2})] ＜ 0 $
C.$ f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ＜ \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} $
D.$ f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ＞ \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2} $

答案： 18. C [解析]由(x1 - x2)[f(x1) - f(x2)]＞0可得函数f(x)为增函数，而f(x)=a^x不一定是增函数，故A不一定成立；由(x1 - x2)[f(x1) - f(x2)]＜0可得函数f(x)为减函数，而f(x)=a^x不一定是减函数，故B不一定成立；因为f($\frac{x1 + x2}{2}$)=a^($\frac{x1 + x2}{2}$)，$\frac{f(x1) + f(x2)}{2}$=$\frac{a^x1 + a^x2}{2}$≥$\sqrt{a^x1· a^x2}$=$\sqrt{a^(x1 + x2)}$=a^($\frac{x1 + x2}{2}$)，且由x1≠x2知等号不成立，所以f($\frac{x1 + x2}{2}$)＜$\frac{f(x1) + f(x2)}{2}$一定成立，即C正确，D错误。故选C。

19. 中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到 2020 年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标。全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到 2020 年国内生产总值和城乡居民人均收入比 2010 年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高。设从 2011 年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 $ p\% $。下面给出了依据“到 2020 年城乡居民人均收入比 2010 年翻一番”列出的关于 $ p $ 的四个关系式：① $ (1 + p\%) × 10 = 2 $；② $ (1 + p\%)^{10} = 2 $；③ $ 10^{(1 + p\%)} = 2 $；④ $ 1 + 10 × p\% = 2 $。其中正确的是(B)

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 19. B [解析]已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%，则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得$(1 + p%)^10 = 2。$故选B。