《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

13. [2019·北京高考]下列函数中，在区间 $ (0,+\infty) $上单调递增的是(A)

A.$ y = x^{\frac{1}{2}} $
B.$ y = 2^{-x} $
C.$ y=\log$${\frac{1}{2}}x $
D.$ y=\frac{1}{x} $

答案： 13.A [解析]函数$y = 2^{-x}$，$y = \log_{\frac{1}{2}}x$，$y = \frac{1}{x}$在区间$(0, +\infty)$上都单调递减，函数$y = x^{\frac{1}{2}}$在区间$(0, +\infty)$上单调递增，故选A。

14. [2020·新高考Ⅱ卷]已知函数 $ f(x)=\lg(x^{2}-4x - 5) $在 $ (a,+\infty) $上单调递增，则 $ a $的取值范围是(D)

A.$ (2,+\infty) $
B.$ [2,+\infty) $
C.$ (5,+\infty) $
D.$ [5,+\infty) $

答案： 14.D 思维路径：求出函数$f(x)$的定义域，求出函数$y = x^{2} - 4x - 5$的单调递增区间，求得函数$f(x)$的单调递增区间，求得$a$的取值范围。
[解析]令$x^{2} - 4x - 5 ＞ 0$，解得$x ＞ 5$或$x ＜ -1$，则$f(x)$的定义域为$(-\infty, -1) \cup (5, +\infty)$（在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域）。因为$y = x^{2} - 4x - 5$在$(5, +\infty)$上单调递增，所以$f(x) = \lg(x^{2} - 4x - 5)$在$(5, +\infty)$上单调递增，所以$a \geq 5$。故选D。

15. [2020·全国卷Ⅱ]设函数 $ f(x)=\ln|2x + 1|-\ln|2x - 1| $，则 $ f(x) $(D)

A.是偶函数，且在 $ (\frac{1}{2},+\infty) $单调递增
B.是奇函数，且在 $ (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $单调递减
C.是偶函数，且在 $ (-\infty,-\frac{1}{2}) $单调递增
D.是奇函数，且在 $ (-\infty,-\frac{1}{2}) $单调递减

答案： 15.D [解析]由$f(x) = \ln|2x + 1| - \ln|2x - 1|$得$f(x)$的定义域为$\left\{x\mid x \neq \pm \frac{1}{2}\right\}$，关于原点对称。
∵$f(-x) = \ln|1 - 2x| - \ln|-2x - 1| = \ln|2x - 1| - \ln|2x + 1| = -f(x)$，
∴$f(x)$为定义域上的奇函数，可排除A，C。当$x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$时，$f(x) = \ln(2x + 1) - \ln(1 - 2x)$。
∵$y = \ln(2x + 1)$在$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$上单调递增，$y = \ln(1 - 2x)$在$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$上单调递减，
∴$f(x)$在$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$上单调递增，排除B。当$x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)$时，$f(x) = \ln(-2x - 1) - \ln(1 - 2x) = \ln\frac{2x + 1}{2x - 1} = \ln\left(1 + \frac{2}{2x - 1}\right)$。令$u = 1 + \frac{2}{2x - 1}$。
∵$u = 1 + \frac{2}{2x - 1}$在$\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)$上单调递减，$f(u) = \ln u$在定义域内单调递增，
∴根据复合函数的单调性可知$f(x)$在$\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)$上单调递减，D正确。故选D。
方法总结：判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据$f(-x)$与$f(x)$的关系得到结论。判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数单调性的“同增异减”得到结论。

16. [2021·新高考Ⅰ卷]已知函数 $ f(x)=x^{3}(a·2^{x}-2^{-x}) $是偶函数，则 $ a = $1。

答案： 16.1 [解析]方法一：因为$f(x) = x^{3}(a · 2^{x} - 2^{-x})$，所以$f(-x) = -x^{3}(a · 2^{-x} - 2^{x})$。因为$f(x)$为偶函数，所以$f(-x) = f(x)$，所以$x^{3}(a · 2^{x} - 2^{-x}) = -x^{3}(a · 2^{-x} - 2^{x})$，整理得到$(a - 1)(2^{x} + 2^{-x}) = 0$，解得$a = 1$。
方法二：因为$f(1) = 2a - \frac{1}{2}$，$f(-1) = -\frac{1}{2}a + 2$，函数$f(x)$为偶函数，所以$f(-1) = f(1)$，即$-\frac{1}{2}a + 2 = 2a - \frac{1}{2}$，解得$a = 1$。

17. [2020·全国卷Ⅱ]设函数 $ f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}} $，则 $ f(x) $(A)

A.是奇函数，且在 $ (0,+\infty) $单调递增
B.是奇函数，且在 $ (0,+\infty) $单调递减
C.是偶函数，且在 $ (0,+\infty) $单调递增
D.是偶函数，且在 $ (0,+\infty) $单调递减

答案： 17.A [解析]方法一：易知函数$f(x)$的定义域为$\{x\mid x \neq 0\}$。因为$f(-x) = -x^{3} + \frac{1}{-x^{3}} = -f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数。因为$y = x^{3}$，$y = -\frac{1}{x^{3}}$在$(0, +\infty)$上均单调递增，所以函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。故选A。
方法二：令$g(x) = x^{3}$，$h(x) = -\frac{1}{x^{3}}$。因为$g(x) = x^{3}$和$h(x) = -\frac{1}{x^{3}}$都是奇函数，所以二者相加得到的$f(x)$也为奇函数，由此排除选项C，D。因为$f(1) = 0$，$f(2) = 8 - \frac{1}{8} = \frac{63}{8}$，所以$f(2) ＞ f(1)$，所以函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。故选A。

18. [2020·江苏高考]已知 $ y = f(x) $是奇函数，当 $ x\geq0 $时，$ f(x)=x^{\frac{2}{3}} $，则 $ f(-8) $的值是-4。

答案： 18. - 4 [解析]由题意，得$f(-8) = -f(8)$。因为$f(8) = 8^{\frac{2}{3}} = 4$，所以$f(-8) = -4$。

19. [2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 $ L $和小数记录法的数据 $ V $满足 $ L = 5+\lg V $。已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 $ (\sqrt[10]{10}\approx1.259) $(C)

A.1.5
B.1.2
C.0.8
D.0.6

答案： 19.C [解析]
∵$L = 5 + \lg V$，
∴当$L = 4.9$时，$\lg V = -0.1$，
∴$V = 10^{-0.1} = 10^{-\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt[10]{10}} \approx \frac{1}{1.259} \approx 0.8$。故选C。

20. [2020·新高考Ⅰ卷]基本再生数 $ R_{0} $与世代间隔 $ T $是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：$ I(t)=\mathrm{e}^{rt} $描述累计感染病例数 $ I(t) $随时间 $ t $(单位：天)的变化规律，指数增长率 $ r $与 $ R_{0},T $近似满足 $ R_{0}=1 + rT $。有学者基于已有数据估计出 $ R_{0}=3.28,T = 6 $。据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 $ (\ln 2\approx0.69) $(B)

A.1.2 天
B.1.8 天
C.2.5 天
D.3.5 天

答案： 20.B 思维路径：根据题意求出$r$，得到$I(t)$的解析式，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为$t_{1}$天，$e^{0.38(t + t_{1})} = 2e^{0.38t}$，解得$t_{1}$即可得结果。
[解析]因为$R_{0} = 3.28$，$T = 6$，$R_{0} = 1 + rT$，所以$r = \frac{3.28 - 1}{6} = 0.38$，所以$I(t) = e^{rt} = e^{0.38t}$。设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为$t_{1}$天，则$e^{0.38(t + t_{1})} = 2e^{0.38t}$，即$e^{0.38t_{1}} = 2$，则$0.38t_{1} = \ln 2$，所以$t_{1} = \frac{\ln 2}{0.38} \approx \frac{0.69}{0.38} \approx 1.8$（天）。故选B。

21. [2020·全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $ I(t) $($ t $的单位：天)的 Logistic 模型：$ I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t - 53)}} $，其中 $ K $为最大确诊病例数。当 $ I(t^{*})=0.95K $时，标志着已初步遏制疫情，则 $ t^{*} $约为 $ (\ln 19\approx3) $(C)

A.60
B.63
C.66
D.69

答案： 21.C [解析]
∵$I(t) = \frac{K}{1 + e^{-0.23(t - 53)}}$，
∴$I(t^{*}) = \frac{K}{1 + e^{-0.23(t^{*} - 53)}} = 0.95K$，
∴$e^{0.23(t^{*} - 53)} = 19$，
∴$0.23(t^{*} - 53) = \ln 19 \approx 3$，解得$t^{*} \approx \frac{3}{0.23} + 53 \approx 66$。故选C。