《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2021·广东广州高一期末]概率论起源于赌博问题.法国著名数学家布莱尔·帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题:甲、乙两赌徒约定先赢满 5 局者,可获得全部赌金 700 法郎,当甲赢了 4 局,乙赢了 3 局,不再赌下去时,赌金如何分配?假设每局两人输赢的概率各占一半,每局输赢相互独立,那么赌金分配比较合理的是 (A)

A.甲 525 法郎,乙 175 法郎
B.甲 500 法郎,乙 200 法郎
C.甲 400 法郎,乙 300 法郎
D.甲 350 法郎,乙 350 法郎

答案： 1. A 破题关键 分别确定甲、乙获胜的概率→根据概率确定赌金分配.
【解析】如果再赌第8局，甲胜可赢得全部赌金，或者乙胜，甲与乙胜的局数相等，则第9局获胜的人可赢得全部赌金，所以甲赢得700法郎的概率为$P_{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，乙赢得700法郎的概率为$P_{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$. 因此，这700法郎中分配给甲$700×\frac{3}{4}=525$（法郎），分配给乙$700×\frac{1}{4}=175$（法郎）. 故选A.

2. (多选)甲、乙两人在 5 次体育测试中的成绩(成绩为整数,满分为 100 分)如下表,其中乙的第 5 次成绩的个位数被污损,用 x 代替,则 (BCD)


A.甲的平均成绩为 91 分
B.从甲的 5 次成绩中任取 2 次成绩,均大于甲的平均成绩的概率是 $\frac{3}{10}$
C.当 $x = 3$ 时,甲、乙两人的平均成绩相等
D.乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是 $\frac{3}{10}$

答案： 2. BCD 【解析】甲的平均成绩为$\frac{91 + 86 + 88 + 92 + 93}{5}=90$（分），故A错误；从甲的5次成绩中任取2次成绩的样本空间$\varOmega =\{(91,86),(91,88),(91,92),(91,93),(86,88),(86,92),(86,93),(88,92),(88,93),(92,93)\}$，共10个样本点，其中均大于甲的平均成绩的样本点有3个，为$(91,92),(91,93),(92,93)$，故所求概率为$\frac{3}{10}$，故B正确；由于甲的平均成绩为$\frac{91 + 86 + 88 + 92 + 93}{5}=90$（分），当$x = 3$时，乙的平均成绩为$\frac{87 + 85 + 86 + 99 + 93}{5}=90$（分），此时甲、乙两人的平均成绩相等，故C正确；乙的第5次成绩可能是90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，共10种可能，可知当$x = 3$时，甲、乙两人的平均成绩相等，所以当乙的第5次成绩为90，91，92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩，所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是$\frac{3}{10}$，故D正确. 选BCD.

3. 已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成,每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号,乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个,丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站,丁基站只接收信号.对于信号源甲发出的一条信号,丙基站能接收到的概率为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$.

答案： 3. $\frac{1}{2}$ 【解析】丙基站能接收到信号有两种情况，信号源甲直接发送给丙基站，概率为$\frac{1}{3}$，或信号源甲发送给乙基站，乙基站再传送给丙基站，概率为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，故丙基站能接收到的概率为$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$.

4. [2021·陕西陈仓高一期中]某数学兴趣小组有男生 3 名,记为 $a_1,a_2,a_3$,有女生 2 名,记为 $b_1,b_2$.现从中任选 2 名学生去参加学校数学竞赛.
(1)写出样本空间 $\Omega$ 所包含的样本点;
(2)求参赛学生中恰好有 1 名男生的概率;
(3)求参赛学生中至少有 1 名男生的概率.

答案： 4. 【解】
(1)根据题意，样本空间$\varOmega$所包含的样本点由列举法表示如下：$(a_{1},a_{2}),(a_{1},a_{3}),(a_{1},b_{1}),(a_{1},b_{2}),(a_{2},a_{3}),(a_{2},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{1}),(a_{3},b_{2}),(b_{1},b_{2})$.
(2)由
(1)可得，参赛学生中恰好有一名男生的情况如下：$(a_{1},b_{1}),(a_{1},b_{2}),(a_{2},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{1}),(a_{3},b_{2})$，共6种情况，因此参赛学生中恰好有一名男生的概率$p=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
(3)参赛学生中没有男生的情形是$(b_{1},b_{2})$，共1种情况，因此参赛学生中没有男生的概率为$\frac{1}{10}$，由对立事件的概率公式可得，参赛学生中至少有一名男生的概率$p = 1 - \frac{1}{10}=\frac{9}{10}$.
方法总结 若两事件为对立事件，则可以表示成$A$和$\overline{A}$，两者的概率满足$P(A)+P(\overline{A}) = 1$.

5. 一只不透明的口袋内装有 5 个小球,其中 3 个白球、2 个黑球.现有放回地从袋中依次摸出 1 个球,则前三次摸出的球均为白球的概率是 (C)

A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{3}{125}$
C.$\frac{27}{125}$
D.$\frac{1}{27}$

答案： 5. C 【解析】依题意，从袋子中摸1个球，摸出的是白球的概率$p=\frac{3}{5}$，现有放回地从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率为$\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}$. 故选C.