《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

7. 从集合$A = \{2,3,-4\}$中随机选取一个数记为$k$，从集合$B = \{-2,-3,4\}$中随机选取一个数记为$b$，求一次函数$y = kx + b$的图像不经过第二象限的概率。

答案： 7.【解】依题意$k$和$b$的所有可能的取法有$(2,-2),(2,-3),(2,4),(3,-2),(3,-3),(3,4),(-4,-2),(-4,-3),(-4,4)$,共9种.因为题中$k,b$均不为0,所以当一次函数$y = kx + b$的图像不经过第二象限时,应有$k＞0,b\lt 0$,满足条件的取法有$(2,-2),(2,-3),(3,-2),(3,-3)$,共4种,故所求概率为$\frac{4}{9}$.
方法归纳 由该图像不经过第二象限的情形可以适当延伸讨论一下该图像不经过第一、三、四象限的情形,以此巩固该类题型的解题方法.

8. [2021·安徽舒城高一期末]一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为$a$，$b$，$c$，当且仅当$a ＞ b$，$b ＜ c$时称为“凹数”(如 213，312 等)。若$a,b,c\in\{1,2,3,4\}$，且$a$，$b$，$c$互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是$\frac{1}{3}$。

答案： 8. $\frac{1}{3}$ 破题关键 根据题意理解“凹数”的概念,并求满足该条件事件的概率.
【解析】$a,b,c\in \{1,2,3,4\}$,且$a,b,c$互不相同,所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,124,142,214,241,412,421,134,143,314,341,413,431,234,243,324,342,423,432,共24个,其中为“凹数”的有213,312,214,412,314,413,324,423,共8个,所求概率为$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$.

9. 若$x\in A$，且$\frac{1}{x}\in A$，则称$A$是“伙伴关系集合”。在集合$M = \{-1,0,\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3,4\}$的所有非空子集中任选一个集合，求该集合是“伙伴关系集合”的概率。

答案： 9.破题关键 理解集合的概念,拓展到“伙伴关系集合”的概念,最后求满足条件的事件的概率.
【解】$\because M=\left\{-1,0,\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3,4\right\}$,$\therefore$集合$M$的所有非空子集的个数为$2^{9}-1 = 511$(非空子集的计算公式$N = 2^{n}-1$).$\because$若$-1\in A$,则$\frac{1}{-1}=-1\in A$;若$1\in A$,则$\frac{1}{1}=1\in A$;若$2\in A$,则$\frac{1}{2}\in A$,$2$与$\frac{1}{2}$成对出现;若$3\in A$,则$\frac{1}{3}\in A$,$3$与$\frac{1}{3}$成对出现;若$4\in A$,则$\frac{1}{4}\in A$,$4$与$\frac{1}{4}$成对出现,$\therefore$集合$M$的所有非空子集中,“伙伴关系集合”共有$2^{5}-1 = 31$(个).$\therefore$在集合$M$的所有非空子集中任选一个集合,则该集合是“伙伴关系集合”的概率为$\frac{31}{511}$.