《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

13. 已知函数 $ f(x) = \log_3 \left( \dfrac{a}{x + 1} - 1 \right) $ 是定义在 $ (-1,1) $ 上的奇函数，则 $ f \left( \dfrac{1}{2} \right) = $(D)

A.$ 3 $
B.$ 1 $
C.$ \dfrac{1}{3} $
D.$ -1 $

答案： 13. D 【解析】由题意得$f(0)=\log_{3}(a - 1)=0$［若奇函数在$x = 0$处有意义，则有$f(0)=0$］，解得$a = 2$，则$f(x)=\log_{3}\left(\dfrac{2}{x + 1}-1\right)=\log_{3}\dfrac{1 - x}{x + 1}$，所以$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\log_{3}\dfrac{1}{3}=-1$。故选D。

14. [2022·吉林延边高一期末] 已知函数 $ f(x) = e^{-x} - e^x + \ln (\sqrt{x^2 + 1} - x) + 2 $，则关于 $ x $ 的不等式 $ f(3x - 1) + f(x) ＞ 4 $ 的解集为(A)

A.$ \left( -\infty,\dfrac{1}{4} \right) $
B.$ \left( \dfrac{1}{4},+\infty \right) $
C.$ (-\infty,0) $
D.$ (0,+\infty ) $

答案： 14. A 【解析】令$g(x)=f(x)-2 = e^{-x}-e^{x}+\ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)$，则$g(-x)=f(-x)-2 = e^{x}-e^{-x}+\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)$。因为$g(x)+g(-x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)+\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)=\ln 1 = 0$，且函数定义域为$\mathbf{R}$，所以$g(x)$为奇函数。当$x ＜ 0$时，函数$y = e^{-x}-e^{x}$和函数$y = \ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)$均为减函数，所以$g(x)$为减函数。又因为$g(x)$为奇函数，所以$g(x)$在$\mathbf{R}$上为减函数（奇函数在定义域内具有相同的单调性），原不等式等价于$f(3x - 1)-2 ＞ -[f(x)-2]$，即$g(3x - 1) ＞ -g(x)$，即$g(3x - 1) ＞ g(-x)$，所以$3x - 1 ＜ -x$，解得$x ＜ \dfrac{1}{4}$。故选A。

15. 已知函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{3}} \dfrac{2 - kx}{x - 2} $ 为奇函数，则常数 $ k $ 的值为$-1$.

答案： 15. $-1$ 【解析】因为函数$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}\dfrac{2 - kx}{x - 2}$为奇函数，所以$f(x)+f(-x)=0$，即$\log_{\frac{1}{3}}\dfrac{2 - kx}{x - 2}+\log_{\frac{1}{3}}\dfrac{2 + kx}{-x - 2}=0$，化简得到$\log_{\frac{1}{3}}\left(\dfrac{2 - kx}{x - 2}×\dfrac{2 + kx}{-x - 2}\right)=\log_{\frac{1}{3}}1$，整理得$k^{2}x^{2}-4 = x^{2}-4$，解得$k = \pm 1$。当$k = 1$时，$f(x)=\log_{\frac{1}{3}}\dfrac{2 - kx}{x - 2}$不符合对数函数的定义（求出参数值后，注意代入原函数进行验证），应舍去；$k = -1$时符合题意，故$k = -1$。

16. (多选)已知函数 $ f(x + 1) = \log_a (x + 2) (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $，则(BC)

A.$ f(x) = \log_a x $
B.$ f(x) $ 的图像恒过原点
C.$ f(x) $ 无最大值
D.$ f(x) $ 是增函数

答案： 16. BC 【解析】因为$f(x + 1)=\log_{a}(x + 2)=\log_{a}(x + 1 + 1)$，所以$f(x)=\log_{a}(x + 1)$，故A错误。令$x + 1 = 1$，解得$x = 0$，则函数$f(x)$的图像恒过点$(0,0)$，即原点，故B正确。令$u = x + 1$，当$a ＞ 1$时，$u = x + 1(x ＞ -1)$是单调递增函数，$f(x)=\log_{a}u$是单调递增函数，由复合函数的单调性可得$f(x)=\log_{a}(x + 1)$在$x\in(-1,+\infty)$上单调递增，函数$f(x)$无最大值；当$0 ＜ a ＜ 1$时，$u = x + 1(x ＞ -1)$是单调递增函数，$f(x)=\log_{a}u$是单调递减函数，由复合函数的单调性可得$f(x)=\log_{a}(x + 1)$在$x\in(-1,+\infty)$上单调递减，函数$f(x)$无最大值，故C正确，D错误。选BC。

17. (多选)两个函数的图像经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数. 给出四个函数：$ f_1(x) = \log_2 (x + 1) $，$ f_2(x) = \log_2 (x + 2) $，$ f_3(x) = \log_2 x^2 $，$ f_4(x) = \log_2 (2x) $，其中“同形”函数是(AC)

A.$ f_2(x) $ 与 $ f_4(x) $
B.$ f_1(x) $ 与 $ f_3(x) $
C.$ f_1(x) $ 与 $ f_4(x) $
D.$ f_3(x) $ 与 $ f_4(x) $

答案： 17. AC 【解析】由题意知$f_{1}(x)=\log_{2}(x + 1)$，$f_{2}(x)=\log_{2}(x + 2)$，$f_{3}(x)=\log_{2}x^{2}=2\log_{2}\vert x\vert$，$f_{4}(x)=\log_{2}(2x)=\log_{2}x + 1$。可将函数$f_{2}(x)$的图像向右平移$2$个单位长度，然后向上平移$1$个单位长度得到$f_{4}(x)$的图像，故A正确；可将函数$f_{1}(x)$的图像向右平移$1$个单位长度，然后向上平移$1$个单位长度得到$f_{4}(x)$的图像，故C正确；因为函数$f_{3}(x)$为分段函数，由两部分图像组成，不能单独平移得到其他函数图像，故B，D均错误。选AC。

18. 若函数 $ f(x) = a^{x^2} + 1 $ 与 $ g(x) = \log_a (2x + m) + n (a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $ 的图像经过同一个定点，则 $ m^n $ 的值是25.

答案： 18. 25 【解析】函数$f(x)=a^{x + 2}+1$的图像过定点$(-2,2)$，函数$g(x)=\log_{a}(2x + m)+n$的图像过定点$\left(\dfrac{1 - m}{2},n\right)$。依题意得$\begin{cases}\dfrac{1 - m}{2}=-2\\n = 2\end{cases}$，解得$m = 5$，$n = 2$，则$m^{n}=5^{2}=25$。

19. 设函数 $ f(x) = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{10 - ax} $，$ a $ 是不为 $ 0 $ 的常数.
(1) 若 $ f(3) = \dfrac{1}{2} $，则使 $ f(x) \geqslant 4 $ 成立的 $ x $ 的取值范围为$[4,+\infty)$；
(2) 当 $ x \in [-1,2] $ 时，$ f(x) $ 的最大值是 $ 16 $，则 $ a $ 的值为$7$或$-14$.

答案： 19.
(1)$[4,+\infty)$；
(2)$7$或$-14$ 【解析】
(1)由$f(3)=\dfrac{1}{2}$得$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10 - 3a}=\dfrac{1}{2}$，解得$a = 3$，则$f(x)=2^{3x - 10}$。令$f(x)\geq 4$，则$2^{3x - 10}\geq 2^{2}$。因为$y = 2^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以$3x - 10\geq 2$，解得$x\geq 4$。故$x$的取值范围是$[4,+\infty)$。
(2)当$a ＞ 0$时，$f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10 - ax}=2^{ax - 10}$是$\mathbf{R}$上的增函数，则当$x\in[-1,2]$时，$f(x)$在$x = 2$处取得最大值，所以$f(2)=2^{2a - 10}=16$，解得$a = 7$；当$a ＜ 0$时，$f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10 - ax}=2^{ax - 10}$是$\mathbf{R}$上的减函数，则当$x\in[-1,2]$时，$f(x)$在$x = -1$处取得最大值，所以$f(-1)=2^{-a - 10}=16$，解得$a = -14$。综上所述，$a = 7$或$a = -14$。

20. [2022·湖北荆门龙泉中学高一月考] 设函数 $ f(x) = \dfrac{3^x}{1 + 3^x} $，若 $ [x] $ 表示不大于 $ x $ 的最大整数，则函数 $ \left[ f(x) - \dfrac{1}{2} \right] + \left[ f(-x) + \dfrac{1}{2} \right] $ 的值域是$\{0,1\}$.

答案： 20. $\{0,1\}$ 【解析】由$f(x)=\dfrac{3^{x}}{1 + 3^{x}}$，得$f(x)\in(0,1)$，$f(-x)=\dfrac{1}{1 + 3^{x}}=1 - f(x)$。令$f(x)=t$，则$f(-x)=1 - t$，$t\in(0,1)$，所以$\left\lfloor f(x)-\dfrac{1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor f(-x)+\dfrac{1}{2}\right\rfloor=\left\lfloor t - \dfrac{1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{3}{2}-t\right\rfloor$，$t\in(0,1)$。
当$0 ＜ t ＜ \dfrac{1}{2}$时，$\left\lfloor t - \dfrac{1}{2}\right\rfloor=-1$，$\left\lfloor \dfrac{3}{2}-t\right\rfloor=1$，所以$\left\lfloor f(x)-\dfrac{1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor f(-x)+\dfrac{1}{2}\right\rfloor=0$；
当$t = \dfrac{1}{2}$时，$\left\lfloor t - \dfrac{1}{2}\right\rfloor=0$，$\left\lfloor \dfrac{3}{2}-t\right\rfloor=1$，所以$\left\lfloor f(x)-\dfrac{1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor f(-x)+\dfrac{1}{2}\right\rfloor=1$；
当$\dfrac{1}{2} ＜ t ＜ 1$时，$\left\lfloor t - \dfrac{1}{2}\right\rfloor=0$，$\left\lfloor \dfrac{3}{2}-t\right\rfloor=0$，所以$\left\lfloor f(x)-\dfrac{1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor f(-x)+\dfrac{1}{2}\right\rfloor=0$。
综上所述，函数$\left\lfloor f(x)-\dfrac{1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor f(-x)+\dfrac{1}{2}\right\rfloor$的值域是$\{0,1\}$。

21. 函数 $ f(x) = \lg (a · 9^x + 3^{-x} - 1) $.
(1) 如果 $ x \in (1,2) $ 时，$ f(x) $ 有意义，求实数 $ a $ 的取值范围.
(2) 当 $ a \leqslant 0 $ 时，$ f(x) $ 的值域为 $ \mathbf{R} $，求实数 $ a $ 的值.
(3) 在 (2) 的条件下，$ g(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数，且 $ x ＞ 0 $ 时，$ g(x) = 10^{f(x)} + 1 $. 对任意的 $ t \in \mathbf{R} $，解关于 $ x $ 的不等式 $ g(x^2 + tx - 2t) \geqslant \dfrac{g^3(x)}{|g(x)|} $.

答案： 21. 【解】
(1)由题意可知当$x\in(1,2)$时，$a· 9^{x}+3^{x}-1 ＞ 0$恒成立，即$a ＞ \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$恒成立。
令$u = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$，$u\in\left(\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{3}\right)$，则$a ＞ u^{2}-u$在$u\in\left(\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{3}\right)$上恒成立。
$\because y = u^{2}-u$在$\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right)$上为减函数，$\dfrac{1}{9} ＜ u ＜ \dfrac{1}{3}$，$\therefore -\dfrac{8}{81} ＜ u^{2}-u ＜ -\dfrac{2}{9}$，$\therefore a\geq -\dfrac{2}{9}$，故$a$的取值范围为$\left[-\dfrac{2}{9},+\infty\right)$。
(2)令$h(x)=a· 9^{x}+3^{x}-1$，由题意知$h(x)$的值域包含$(0,+\infty)$。当$a = 0$时（易忽略对$a = 0$的讨论），$h(x)=3^{x}-1$，值域为$(-1,+\infty)$，满足条件；
当$a ＜ 0$时，$h(x)=a· 9^{x}+3^{x}-1$，令$t = 3^{x}$，$t\in(0,+\infty)$，$y = at^{2}+t - 1 = a\left(t + \dfrac{1}{2a}\right)^{2}-1 - \dfrac{1}{4a}$的图像为开口向下的抛物线，易知$h(x)$的值域为$\left(-\infty,-1 - \dfrac{1}{4a}\right)$，不满足条件。
综上所述，$a = 0$。
(3)因为$a = 0$，所以$f(x)=\lg(3^{x}-1)$。
当$x ＞ 0$时，$g(x)=3^{x}$；
当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，所以$g(-x)=3^{-x}$。
因为$g(x)$为奇函数，所以当$x ＜ 0$时，$g(x)=-g(-x)=-3^{-x}$。
综上所述，$g(x)=\begin{cases}3^{x},x ＞ 0\\0,x = 0\\-3^{-x},x ＜ 0\end{cases}$，所以$\dfrac{g^{2}(x)}{\vert g(x)\vert}=g(2x)$，且$x\neq 0$。
因为$y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$为减函数，所以$g(x)$为单调递增函数，
所以不等式$g(x^{2}+tx - 2t)\geq g(2x)$等价于$x^{2}+tx - 2t\geq 2x$，$x\neq 0$，
即解关于$x$的不等式$x^{2}+(t - 2)x - 2t\geq 0$，$x\neq 0$。
当$t ＜ -2$时，解集为$\{x\mid x\leq 2$且$x\neq 0$或$x\geq -t\}$；
当$t = -2$时，解集为$\{x\mid x\neq 0\}$；
当$-2 ＜ t\leq 0$时，解集为$\{x\mid x\leq -t$且$x\neq 0$或$x\geq 2\}$；
当$t ＞ 0$时，解集为$\{x\mid x\leq -t$或$x\geq 2\}$。