《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

15. 某学校 300 名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了 30 名学生，记录他们的分数如下：
32，34，35，42，44，46，52，53，55，56，62，64，64，64，67，68，72，74，74，75，76，76，78，82，82，83，84，85，86，87.
(1) 求样本数据的中位数、众数、极差并估计 80%分位数；
(2) 从总体的 300 名学生中随机抽取一人，估计其分数在区间$[60,80)$内的概率；
(3) 已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男、女生人数相等，试估计总体中男生和女生的人数.

答案： 15. 【解】（1）根据表中数据，样本数据的中位数是$\frac{67 + 68}{2} = 67.5$，众数为 64。最大数据为 87，最小数据为 32，故极差为$87 - 32 = 55$。因为数据共有 30 组，所以 80%分位数为从小到大的第 24 位数与第 25 位数的平均值，故为 82。
（2）根据所给数据，30 人中，分数落在$[60, 80)$内的有 13 人，所以根据频率估计概率得参加测评的学生分数落在$[60, 80)$内的概率为$\frac{13}{30}$。
（3）因为样本中分数不小于 70 的男、女生人数相等，且共有 14 人，所以样本中分数不小于 70 的男生有 7 人。因为样本中有一半男生的分数不小于 70，所以样本中有男生 14 人，女生 16 人，所以由分层随机抽样的方法得，总体中，男生共有$300 × \frac{14}{30} = 140$（人），女生共有$300 × \frac{16}{30} = 160$（人）。所以总体中男生有 140 人，女生有 160 人。

16. 某电子商务公司随机抽取 1 000 名网络购物者进行调查. 这 1 000 名购物者 2021 年网上购物金额（单位：万元）均在区间$[0.3,0.9]$内，样本分组为$[0.3,0.4)$，$[0.4,0.5)$，$[0.5,0.6)$，$[0.6,0.7)$，$[0.7,0.8)$，$[0.8,0.9]$，购物金额的频率分布直方图如下：

电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额（单位：万元）的关系如下：

(1) 求这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数；
(2) 以这 1 000 名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于 150 元的概率.

答案： 16. 思维路径 先用频率估计概率求出样本总体→再根据样本总体求出事件的概率。
【解】（1）1000 名购物者 2021 年网上消费金额位于区间$[0.3, 0.5)$的频率为$(1.5 + 2.5) × 0.1 = 0.4$，有 400 人；位于区间$[0.5, 0.6)$的频率为$3.0 × 0.1 = 0.3$，有 300 人；位于区间$[0.6, 0.8)$的频率为$(2.0 + 0.8) × 0.1 = 0.28$，有 280 人；位于区间$[0.8, 0.9]$的频率为$0.2 × 0.1 = 0.02$，有 20 人。购物者的购物金额$x$（单位：元）与获得优惠券金额$y$（单位：万元）的频率分布如下表：
| $x$ | $[0.3, 0.5)$ | $[0.5, 0.6)$ | $[0.6, 0.8)$ | $[0.8, 0.9]$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 50 | 100 | 150 | 200 |
| 频率 | 0.4 | 0.3 | 0.28 | 0.02 |
这 1000 名购物者获得优惠券金额的平均数为$\frac{1}{1000} × (50 × 400 + 100 × 300 + 150 × 280 + 200 × 20) = 96$。
（2）由题意知网上消费金额位于$[0.6, 0.8)$和$[0.8, 0.9]$的购物者获得优惠券金额不少于 150 元，所以购物者获得优惠券金额不少于 150 元的概率为$0.28 + 0.02 = 0.3$。