《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

21. [2022·江苏常州溧阳中学高一期中]若 $3^{x} = 5^{y} = k$，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$，则 $k$ 的值为(B)

A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{15}$
C.$15$
D.$225$

答案： 21.B 【解析】由$3^{x}=5^{y}=k$得$x=\log_{3}k,y=\log_{5}k$.$\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{\log_{3}k}+\frac{1}{\log_{5}k}=\log_{k}3+\log_{k}5=\log_{k}15 = 2,\therefore k^{2}=15,\therefore k=\sqrt{15}$(负值已舍去). 故选 B.

22. [2022·河南郑州第四十七高级中学高一月考]素数也叫质数，部分素数可写成“$2^{n} - 1$”的形式($n$ 是素数)，法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“$2^{n} - 1$”形式($n$ 是素数)的素数称为梅森素数. 2018 年底发现的第 51 个梅森素数是 $M = 2^{82589933} - 1$，它是目前最大的梅森素数. 已知第 8 个梅森素数为 $P = 2^{31} - 1$，第 9 个梅森素数为 $Q = 2^{61} - 1$，则 $\frac{Q}{P}$ 约等于(参考数据：$\lg 2\approx0.3$)(C)

A.$10^{7}$
B.$10^{8}$
C.$10^{9}$
D.$10^{10}$

答案： 22.C 【解析】因为$P,Q$两数远远大于 1,所以$\frac{Q}{P}$的值约等于$\frac{2^{61}}{2^{31}}$. 设$\frac{2^{61}}{2^{31}}=k$,即$2^{30}=k,\lg 2^{30}=\lg k$,因此有$30\lg 2=\lg k$,解得$k\approx10^{9}$. 故选 C.

23. 已知 $9^{x} = 4^{y} = \sqrt{6}$，则 $\frac{(x + y)^{2}}{x^{2}y^{2}}=$(B)

A.$25$
B.$16$
C.$9$
D.$4$

答案： 23.B 【解析】$\because 9^{x}=4^{y}=\sqrt{6},\therefore x=\log_{9}\sqrt{6}=\log_{3^{2}}6^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\log_{3}6,y=\log_{4}\sqrt{6}=\log_{2^{2}}6^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\log_{2}6,\therefore \frac{1}{x}=\frac{4}{\log_{3}6}=4\log_{6}3,\frac{1}{y}=\frac{4}{\log_{2}6}=4\log_{6}2,\therefore \frac{(x + y)^{2}}{x^{2}y^{2}}=\left(\frac{x + y}{xy}\right)^{2}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^{2}=(4\log_{6}3 + 4\log_{6}2)^{2}=(4\log_{6}6)^{2}=16$. 故选 B.

24. 若 $\log_{3}4×\log_{4}81×\log_{8}m = \log_{4}16$，则 $m=$9。

答案： 24.9 【解析】由$\log_{3}4×\log_{4}8×\log_{8}m=\log_{4}16$,得$\frac{\lg 4}{\lg 3}×\frac{\lg 8}{\lg 4}×\frac{\lg m}{\lg 8}=2$(通常换成以 10 为底的对数,方便计算),即$\frac{\lg m}{\lg 3}=\log_{3}m = 2$,所以$m = 9$.

25. [2022·浙江嘉兴高一期末]计算：$\frac{1}{2}\lg 4 - (\pi + 1)^{0} + 27^{\frac{1}{3}} + \lg 50=$4。

答案： 25.4 【解析】$\frac{1}{2}\lg 4-(\pi + 1)^{0}+27^{\frac{1}{3}}+\lg 50=\lg 4^{\frac{1}{2}}-1 + 3+\lg 50=2 + \lg 2+\lg 50=2 + \lg(2×50)=4$.

26. [2022·山东青岛高一期末]若 $a + a^{-1} = 3$，则
(1) $(\frac{\lg 5}{3} + \lg 2^{\frac{1}{3}})×2^{3a}×2^{\frac{3}{a}}=$$\frac{512}{3}$；
(2) $a^{2} + a^{-2} - 3^{1 + \log_{3}2}=$1。

答案： 26.
(1)$\frac{512}{3}$
(2)1 【解析】
(1)由$a + a^{-1}=3$可得$\left(\frac{\lg 5}{3}+\lg 2^{\frac{1}{3}}\right)×2^{3a}×2^{\frac{3}{2}a}=\frac{1}{3}(\lg 5+\lg 2)×2^{3(a + a^{-1})}=\frac{1}{3}×2^{9}=\frac{512}{3}$.
(2)由$a + a^{-1}=3$可得$a^{2}+a^{-2}=7$. 所以$a^{2}+a^{-2}-3^{1 + \log_{3}2}=7 - 3×3^{\log_{3}2}=7 - 3×2 = 1$.

27. [2022·黑龙江哈师大附中高一期末]某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林. 假设一片森林原来的面积为 $a$ 亩（$1$ 亩 $\approx667m^{2}$），计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的 $3$ 倍时，所用时间是 $10$ 年.
(1) 求森林面积的年增长率.
(2) 到今年为止，森林面积为原来的 $\sqrt{3}$ 倍，则该地已经植树造林多少年？
(3) 为使森林面积至少达到 $6a$ 亩，至少需要植树造林多少年？（参考数据：$\lg 2\approx0.3010$，$\lg 3\approx0.4771$，结果精确到整数）

答案： 27.【解】
(1)设森林面积的年增长率为$x$,则$a(1 + x)^{10}=3a$,解得$x = 3^{\frac{1}{10}}-1$.
(2)设该地已经植树造林$n$年,则$a(1 + x)^{n}=\sqrt{3}a$.
将$x = 3^{\frac{1}{10}}-1$代入,得$3^{\frac{n}{10}}=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$,解得$n = 5$.
故该地已经植树造林 5 年.
(3)设为使森林面积至少达到$6a$亩,至少需要植树造林$m$年,则
$a(1 + x)^{m}\geq6a$,即$3^{\frac{m}{10}}\geq6$,
$\frac{m}{10}\geq\log_{3}6=\log_{3}2+\log_{3}3=1+\frac{\lg 2}{\lg 3}\approx1+\frac{0.3010}{0.4771}\approx1.63$,
解得$m\geq16.3$.
故为使森林面积至少达到$6a$亩,至少需要植树造林 17 年.

28. 若 $2^{y}×\log_{y}4 - 2^{y - 1} = 0$，$\sqrt{\log_{x}\sqrt{5x}}×\log_{5}x = -1$，则 $\sqrt{\frac{1}{x} - y}$ 的值是3。

答案： 28.3 【解析】由$2^{y}\log_{y}4-2^{y - 1}=0$得$2^{y}\left(\log_{y}4-\frac{1}{2}\right)=0$,即$\log_{y}4=\frac{1}{2}$,解得$y = 16$.
由$\sqrt{\log_{x}\sqrt{5x}}×\log_{3}x=-1$得$\sqrt{\frac{1}{2}\log_{x}(5x)}=-\log_{x}5＞0$,即$\sqrt{\frac{1}{2}(\log_{x}x+\log_{x}5)}=-\log_{x}5＞0$,两边同时平方后整理得$2(\log_{x}5)^{2}-\log_{x}5 - 1 = 0$,解得$\log_{x}5=-\frac{1}{2}$或$\log_{x}5 = 1$(舍去).
由$\log_{x}5=-\frac{1}{2}$得$x^{-\frac{1}{2}}=5$,即$x=\frac{1}{25}$. 所以$\sqrt{\frac{1}{x}-y}=\sqrt{25 - 16}=3$.

29. [2022·江苏南通如东高级中学高一阶段测试]
(1) 已知 $\lg 2\approx0.3010$，$\lg 3\approx0.4771$，求 $\lg\sqrt{45}$。
(2) 甲、乙两人同时解关于 $x$ 的方程：$\log_{3}x - b\log_{x}3 + c = 0$，甲写错了常数 $b$，得两根 $3$ 及 $\frac{1}{9}$；乙写错了常数 $c$，得两根 $\frac{1}{27}$ 及 $81$。求这个方程真正的根。

答案： 29.【解】
(1)$\lg\sqrt{45}=\lg 3\sqrt{5}=\lg 3+\lg\sqrt{5}=\lg 3+\frac{1}{2}\lg 5=\lg 3+\frac{1}{2}·\lg\frac{10}{2}=\lg 3+\frac{1}{2}(1-\lg 2)\approx0.4771+\frac{1}{2}(1 - 0.3010)=0.8266$.
(2)由题意可得$(\log_{3}x)^{2}+c\log_{3}x - b = 0$.
假设甲把常数$b$看成了$m$:甲写错了常数$b$,得两根$3$及$\frac{1}{9}$,
$\therefore \begin{cases}(\log_{3}3)^{2}+c\log_{3}3 - m = 0,\\\left(\log_{3}\frac{1}{9}\right)^{2}+c\log_{3}\frac{1}{9}-m = 0,\end{cases}$ 解得$c = 1$.
假设乙把常数$c$看成了$n$:乙写错了常数$c$,得两根$\frac{1}{27}$及$81$,
$\therefore \begin{cases}(\log_{3}81)^{2}+n\log_{3}81 - b = 0,\\\left(\log_{3}\frac{1}{27}\right)^{2}+n\log_{3}\frac{1}{27}-b = 0,\end{cases}$ 解得$b = 12$.
因此原方程为$(\log_{3}x)^{2}+\log_{3}x - 12 = 0$,即$\log_{3}x=-4$或$\log_{3}x = 3$,解得$x=\frac{1}{81}$或$x = 27$,即这个方程真正的根为$27$或$\frac{1}{81}$.