《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. 已知函数①$y = 4^{x}$；②$y = \log_{x}2$；③$y = -\log_{3}x$；④$y = \log_{0.2}\sqrt{x}$；⑤$y = \log_{3}x + 1$；⑥$y = \log_{2}(x + 1)$。其中是对数函数的是(C)

A.①②③
B.③④⑤
C.③④
D.②④⑥

答案： 1. C 【解析】根据对数函数的定义，只有符合$y=\log_{a}x$（$a\gt0$且$a\neq1$）形式的函数才是对数函数，其中$x$是自变量，$a$是常数。①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中$y=-\log_{3}x=\log_{\frac{1}{3}}x$，是对数函数；④中$y=\log_{0.2}\sqrt{x}=\log_{0.04}x$，是对数函数；⑤⑥中的函数显然不是对数函数。由此可知只有③④是对数函数，故选 C。

2. [2022·辽宁渤海大学附属高级中学高一月考]函数$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + \lg(3 - x)$的定义域为(A)

A.$(2,3)$
B.$[2,3)$
C.$(-\infty,2)\cup[3,+\infty)$
D.$(-\infty,2]\cup(3,+\infty)$

答案： 2. A 破题关键 对数函数中真数必须大于 0、二次根式中被开方数为非负数、分母不能为 0。
【解析】由题意可得$\begin{cases}3 - x\gt 0,\\x - 2\gt 0,\end{cases}$解得$2\lt x\lt 3$，即定义域为$(2,3)$。故选 A。
方法总结 常见函数的定义域主要从以下方面考虑求解：
(1)分式的分母不能为零；
(2)偶次方根的被开方数为非负数；
(3)对数的真数要大于零，底数大于零且不等于 1；
(4)零次方的底数不能为零。

3. 若函数$y = \lg(ax + 1)$的定义域为$(-\infty,1)$，则$a =$(B)

A.1
B.-1
C.2
D.无法确定

答案： 3. B 【解析】若函数$y=\lg(ax + 1)$的定义域为$(-\infty,1)$，则$ax + 1\gt 0$的解集为$(-\infty,1)$，即$a\lt 0$，且$ax + 1 = 0$的根$-\frac{1}{a}=1$，故$a = -1$。选 B。

4. 已知函数$f(x) = \lg\frac{a}{x^{2} + 1}$的定义域为$\mathbf{R}$，且存在实数$x_{0}$使得$f(x_{0} + 1) = f(x_{0}) + f(1)$成立，则实数$a$的取值范围为$[3 - \sqrt{5},3 + \sqrt{5}]$。

答案： 4. $[3 - \sqrt{5},3 + \sqrt{5}]$ 思维路径 由函数的定义域为$\mathbf{R}\to a\gt 0$ $\xrightarrow{f(x_{0}+1)=f(x_{0})+f(1)成立}$代入去分母$\to$方程有实数解$\to$分$a = 2$，$a\neq 2$讨论$\to$得结果。
【解析】因为函数$f(x)=\lg\frac{a}{x^{2}+1}$的定义域为$\mathbf{R}$，所以$a\gt 0$。因为存在实数$x_{0}$使得$f(x_{0}+1)=f(x_{0}) + f(1)$成立，所以$\lg\frac{a}{(x_{0}+1)^{2}+1}=\lg\frac{a}{x_{0}^{2}+1}+\lg\frac{a}{2}$有实数解，即$\frac{a}{(x_{0}+1)^{2}+1}=\frac{a}{x_{0}^{2}+1}×\frac{a}{2}$，也即$(a - 2)x_{0}^{2}+2ax_{0}+2(a - 1)=0$有实数解。当$a = 2$时，有实数解$x_{0}=-\frac{1}{2}$。当$a\neq 2$时，应有$\Delta = 4a^{2}-8(a - 2)(a - 1)\geq 0$，解得$a\in[3 - \sqrt{5},2)\cup(2,3 + \sqrt{5}]$。综上所述，$a$的取值范围为$[3 - \sqrt{5},3 + \sqrt{5}]$。

5. 已知函数$f(x) = \log_{2}x$，则$f(f(2)) =$(D)

A.4
B.2
C.1
D.0

答案： 5. D 【解析】函数$f(x)=\log_{2}x$，则$f(2)=\log_{2}2 = 1$（求复合函数的值时，先求内层函数的值，再求外层函数的值），所以$f(f(2))=f(1)=\log_{2}1 = 0$。故选 D。

6. 已知函数$f(x) = \log_{a}(x + 2)$，若图像过点$(6,3)$，则$f(2)$的值为(B)

A.-2
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 6. B 【解析】因为函数$f(x)=\log_{a}(x + 2)$的图像过点$(6,3)$，所以$\log_{a}(6 + 2)=3$，即$\log_{a}8=\log_{a}a^{3}$，$a^{3}=8$，解得$a = 2$。所以$f(x)=\log_{2}(x + 2)$，则$f(2)=\log_{2}(2 + 2)=2$。故选 B。

7. [2022·福建晋江子江中学高二期末]设函数$f(x) = \begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}(x + 1),0\leq x\leq 1, \\ f(x - 1),x ＞ 1,\end{cases}$则$f(\sqrt{2})$的值是 ______ 。

答案： 7. $-\frac{1}{2}$ 【解析】$\because f(x)=\begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}(x + 1),0\leq x\leq 1,\\f(x - 1),x\gt 1,\end{cases}$ $\therefore f(\sqrt{2})=f(\sqrt{2}-1)=\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt{2}-1 + 1)=-\frac{1}{2}$。

8. [2022·北京房山高一期末]已知函数$f(x) = \log_{a}(1 + bx)(a ＞ 0$，且$a\neq 1)$，$f(1) = 1$，$f(3) = 2$。求函数$f(x)$的解析式。

答案： 8.【解】因为$\begin{cases}f(1)=1,\\f(3)=2,\end{cases}$即$\begin{cases}\log_{a}(1 + b)=1,\\\log_{a}(1 + 3b)=2,\end{cases}$化简为$\begin{cases}1 + b = a,\\1 + 3b = a^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 1\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1,\\b = 0\end{cases}$（舍去），所以函数$f(x)=\log_{2}(1 + x)$。

9. 若函数$f(x) = \log_{a}(x + a^{2} - 4) + a^{2} - 3a + 2$是对数函数，则$a =$2。

答案： 9. 2 【解析】由对数函数的定义可知$\begin{cases}a^{2}-4 = 0,\\a^{2}-3a + 2 = 0,\\a\gt 0,a\neq 1,\end{cases}$解得$a = 2$。
易错规避 判断一个函数是否为对数函数必须抓住解析式的结构特征：
(1)解析式只有一项；
(2)底数$a$为常数，$a\gt 0$，$a\neq 1$，真数为自变量$x$；
(3)真数中只含有一个$x$的一次项，系数为 1，且再无其他项。