《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2022·北京丰台区高二期末]同学们都知道，在需要评委打分的比赛中，为了防止极端值对平均分的影响，计算最终平均分的时候，需要去掉最高分和最低分。如果在某次比赛中，$n(n\geq3)$位评委所打分数去掉一个最高分算得平均分记为$\overline{A}_{1}$，去掉一个最低分算得平均分记为$\overline{A}_{2}$，同时去掉一个最高分和一个最低分算得平均分记为$\overline{A}_{3}$，那么$\overline{A}_{1},\overline{A}_{2},\overline{A}_{3}$的大小关系为(D)

A.$\overline{A}_{1}\geq\overline{A}_{3}\geq\overline{A}_{2}$
B.$\overline{A}_{1}\geq\overline{A}_{2}\geq\overline{A}_{3}$
C.$\overline{A}_{2}\geq\overline{A}_{1}\geq\overline{A}_{3}$
D.$\overline{A}_{2}\geq\overline{A}_{3}\geq\overline{A}_{1}$

答案： 1. D 【解析】假设最高分为$a$,最低分为$b$,去掉一个最高分和一个最低分的平均分为$c=\overline{A}_{3}$,则其余分数的和为$(n - 2)· c$.由题意可知$a\geqslant c\geqslant b$,所以评委所打分数去掉一个最高分$a$算得平均分$\overline{A}_{1}=\frac{(n - 2)c + b}{n - 1}=\frac{(n - 1)c + b - c}{n - 1}=c+\frac{b - c}{n - 1}\leqslant c=\overline{A}_{3}$,去掉一个最低分$b$算得平均分$\overline{A}_{2}=\frac{(n - 2)c + a}{n - 1}=\frac{(n - 1)c + a - c}{n - 1}=c+\frac{a - c}{n - 1}\geqslant c=\overline{A}_{3}$,所以$\overline{A}_{1},\overline{A}_{2},\overline{A}_{3}$的大小关系为$\overline{A}_{2}\geqslant \overline{A}_{3}\geqslant \overline{A}_{1}$.故选D.

2. 为了庆祝中国共产党成立 100 周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部 20 名党员竞赛成绩的平均分为$a$，方差为 2；高中部 50 名党员竞赛成绩的平均分为$b$，方差为$\frac{14}{5}$。若$a = b$，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为(D)

A.$\frac{336}{35}$
B.$\frac{21}{10}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{18}{7}$

答案： 2. D 破题关键 设初中部20名党员、高中部50名党员竞赛成绩分别为$x_{1},x_{2},·s,x_{20},y_{1},y_{2},·s,y_{50}$,得$(x_{1}-a)^{2}+(x_{2}-a)^{2}+·s +(x_{20}-a)^{2}=40$,$(y_{1}-b)^{2}+(y_{2}-b)^{2}+·s +(y_{50}-b)^{2}=140$,然后利用方差的计算公式可得答案.
【解析】设初中部20名党员竞赛成绩分别为$x_{1},x_{2},·s,x_{20}$,高中部50名党员竞赛成绩分别为$y_{1},y_{2},·s,y_{50}$,根据题意得$\frac{1}{20}[(x_{1}-a)^{2}+(x_{2}-a)^{2}+·s +(x_{20}-a)^{2}]=2$,$\frac{1}{50}[(y_{1}-b)^{2}+(y_{2}-b)^{2}+·s +(y_{50}-b)^{2}]=\frac{14}{5}$,所以$(x_{1}-a)^{2}+(x_{2}-a)^{2}+·s +(x_{20}-a)^{2}=40$,$(y_{1}-b)^{2}+(y_{2}-b)^{2}+·s +(y_{50}-b)^{2}=140$.由于$a = b$,所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为$a$,则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为$\frac{1}{70}[(x_{1}-a)^{2}+(x_{2}-a)^{2}+·s +(x_{20}-a)^{2}+(y_{1}-a)^{2}+(y_{2}-a)^{2}+·s +(y_{50}-a)^{2}]=\frac{180}{70}=\frac{18}{7}$.故选D.

3. [2022·贵州毕节高二期末]某汽车制造厂分别从 A，B 两类轮胎中各随机抽取了 6 个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程(单位：$10^{3}km$)。
A 类轮胎：94，96，99，99，105，107。
B 类轮胎：95，95，98，99，104，109。
根据以上数据，下列说法正确的是(D)

A.A 类轮胎行驶的最远里程的众数小于 B 类轮胎行驶的最远里程的众数
B.A 类轮胎行驶的最远里程的极差等于 B 类轮胎行驶的最远里程的极差
C.A 类轮胎行驶的最远里程的平均数大于 B 类轮胎行驶的最远里程的平均数
D.A 类轮胎的性能更加稳定

答案： 3. D 【解析】A类轮胎行驶的最远里程的众数为99,B类轮胎行驶的最远里程的众数为95,故A错误;A类轮胎行驶的最远里程的极差为13,B类轮胎行驶的最远里程的极差为14,故B错误;A类轮胎行驶的最远里程的平均数为$100+\frac{-6 - 4 - 1 - 1 + 5 + 7}{6}=100$,B类轮胎行驶的最远里程的平均数为$100+\frac{-5 - 5 - 2 - 1 + 4 + 9}{6}=100$,故C错误;A类轮胎行驶的最远里程的方差为$\frac{1}{6}[(94 - 100)^{2}+(96 - 100)^{2}+(99 - 100)^{2}×2+(105 - 100)^{2}+(107 - 100)^{2}]=\frac{64}{3}$,B类轮胎行驶的最远里程的方差为$\frac{1}{6}[(95 - 100)^{2}×2+(98 - 100)^{2}+(99 - 100)^{2}+(104 - 100)^{2}+(109 - 100)^{2}]=\frac{76}{3}＞\frac{64}{3}$,故A类轮胎的性能更加稳定,故D正确.选D.

4. 蒲丰是 18 世纪法国博物学家，曾在 1777 年出版的著作中提出了“投针问题”：取一张画有若干条等距平行线的白纸，随机地向纸上投掷长度小于平行线间距的短针，记录下针与线的相交情况，可用来估计圆周率。蒲丰发现当短针长度恰好为平行线间距一半时，针线相交的概率为$\frac{1}{\pi}$。现用针长为平行线间距一半的短针投掷 5 000 次，记录下短针与线相交 1 590 次，则此次投针试验中得到的圆周率的近似值约为(C)

A.3.12
B.3.13
C.3.14
D.3.15

答案： 4. C 【解析】由题意得$\frac{1\ 590}{5\ 000}=\frac{1}{\pi}$,解得$\pi\approx 3.14$.故选C.

5. [2021·吉林白山抚松第一中学高一期末]已知$a\in\{0,1,2\}$，$b\in\{-1,1,3,5\}$，则函数$f(x)=ax^{2}-2bx$在区间$(1,+\infty)$上单调递增的概率是(A)

A.$\frac{5}{12}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 5. A 破题关键 理解单调递增的概念,在含参的情况下讨论函数在区间上的单调性,最后根据已知的$a,b$的值求符合条件的概率.
【解析】$\because a\in \{0,1,2\},b\in \{-1,1,3,5\}$,$\therefore$样本点总数$n = 3×4 = 12$.用$(a,b)$表示$a,b$的取值.若函数$f(x)=ax^{2}-2bx$在区间$(1,+\infty)$上单调递增,则①当$a = 0$时,$f(x)=-2bx$,符合条件的只有$(0,-1)$,即$a = 0,b = -1$;②当$a\neq 0$时,则由题意$a＞0$,只需满足$\frac{b}{a}\leqslant 1$,符合条件的有$(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1)$,共4种.$\therefore$函数$f(x)=ax^{2}-2bx$在区间$(1,+\infty)$上单调递增的概率$p=\frac{5}{12}$.故选A.

6. [2022·四川凉山西昌高二期末]2021 年国务院政府工作报告中指出，扎实做好碳达峰、碳中和各项工作，制定 2030 年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构。汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，若现对$CO_{2}$排放量超过 130 g/km 的 MI 型新车进行惩罚（视为排放量超标），某检测单位对甲、乙两类 MI 型品牌的新车各抽取了 5 辆进行$CO_{2}$排放量检测，记录如下（单位：g/km）：

经测算发现，乙类品牌车$CO_{2}$排放量的均值为$\overline{x}_{乙}=120g/km$。
（1）求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；
（2）若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车$CO_{2}$的排放量稳定性好，求$x$的取值范围。

答案： 6.【解】
(1)甲类品牌汽车的${CO_{2}}$排放量的平均值$\overline{x}_{甲}=\frac{80 + 110 + 120 + 140 + 150}{5}=120({g/km})$,甲类品牌汽车的${CO_{2}}$排放量的方差$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}[(80 - 120)^{2}+(110 - 120)^{2}+(120 - 120)^{2}+(140 - 120)^{2}+(150 - 120)^{2}]=600$.
(2)由题意知乙类品牌汽车的${CO_{2}}$排放量的平均值$\overline{x}_{乙}=\frac{100 + 120 + x + y + 160}{5}=120({g/km})$,则$x + y = 220$,故$y = 220 - x$,所以乙类品牌汽车的${CO_{2}}$排放量的方差$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}·[(100 - 120)^{2}+(120 - 120)^{2}+(x - 120)^{2}+(220 - x - 120)^{2}+(160 - 120)^{2}]$.因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车${CO_{2}}$的排放量稳定性好,所以$s^{2}_{乙}\lt s^{2}_{甲}$,解得$90\lt x\lt 130$.