《2025年练习生高中数学必修第二册人教B版》

1. [2022·山东烟台高一期末]某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为:随机选取试用期中的 5 天,再从每天生产的零件中分别随机抽取 25 件,要求每天合格品均不低于 22 件.若甲、乙、丙三人在其 5 天抽检样本中的合格品件数统计如下,甲:中位数为 24,极差不超过 2;乙:平均数为 23,方差不超过 1;丙:众数为 23,方差不超过 1.则一定能通过试用期的有 (A)

A.甲、乙
B.甲、丙
C.乙、丙
D.甲、乙、丙

答案： 1.A 破题关键：根据甲、乙、丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于22，只要不低于22，则一定能通过。
[解析]由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品件数不低于24，最低合格品件数不低于22，所以甲一定能通过。设乙每天的合格品件数为$a_i(i = 1,2,3,4,5)$，$a_i\in\mathbf{Z}$，则$\frac{\sum_{i = 1}^{5}(a_i - 23)^2}{5}\leq1$，即$\sum_{i = 1}^{5}(a_i - 23)^2\leq5$。若乙有不止一天的合格品件数低于22，则$\sum_{i = 1}^{5}(a_i - 23)^2＞5$，不符合题意；若乙只有一天的合格品件数低于22，不妨取$a_1 = 21$，$(a_1 - 23)^2 = 4$，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到$\sum_{i = 1}^{5}(a_i - 23)^2＞5$，不符合题意。所以乙的每一天的合格品件数都不低于22，故乙一定能通过。若丙的合格品件数为21,22,23,23,23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过。故选A。

2. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为 (D)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{7}$
D.$\frac{5}{12}$

答案： 2.D [解析]设事件$A$为“甲获一等奖”，事件$B$为“乙获一等奖”，则$P(A)=\frac{2}{3}$，$P(B)=\frac{3}{4}$，$P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$，$P(\overline{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$（对立事件的概率和为1），则这两人中恰有一人获奖（恰有一人获奖即甲获奖且乙不获奖或乙获奖且甲不获奖）的概率为$P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B) = P(A)P(\overline{B}) + P(\overline{A})P(B) = \frac{2}{3}×\frac{1}{4} + \frac{1}{3}×\frac{3}{4} = \frac{5}{12}$。故选D。

3. [2022·陕西宝鸡高一期末]齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为 (A)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 3.A 破题关键：先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的样本点个数，由此能求出田忌的马获胜的概率。
[解析]分别用$A,B,C$表示齐王的上、中、下等马，用$a,b,c$表示田忌的上、中、下等马。现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，有$Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc$，共9场比赛，其中田忌的马获胜的有$Ba,Ca,Cb$，共3场比赛，所以田忌的马获胜的概率为$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。故选A。

4. [2022·江苏泰州中学高二期末]某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.
(1)确定$x,y$的值,并求顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.
注:将频率视为概率.

答案： 4.[解]
(1)由已知得$25 + y + 10 = 55$，$x + 30 = 45$，所以$x = 15$，$y = 20$。
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为$\frac{1×15 + 1.5×30 + 2×25 + 2.5×20 + 3×10}{100} = 1.9$（分）。
(2)记$A$为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，$A_1,A_2,A_3$分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”。
将频率视为概率，得$P(A_1) = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$，$P(A_2) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$，$P(A_3) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$。
因为$A = A_1\cup A_2\cup A_3$，且$A_1,A_2,A_3$是互斥事件，所以$P(A) = P(A_1\cup A_2\cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = \frac{3}{20} + \frac{3}{10} + \frac{1}{4} = \frac{7}{10}$。
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为$\frac{7}{10}$。